수학적 사고의 development와  교수-학습

Piaget의 발생적 인식론 (genetic epistemology) 은 지식은 주체와 환경 사이의 상호작용을  통해 발생한다고 주장한다. 수학적 사고도 상호작용을 통한 발달단계가 있다. 발달 수준에 못미치는 이유로 오류가 나오는데, 이 것을 진단하여 성숙시키는 처방을 내려보자. 오류 진단 혹은 오류 자각은 수준을 한단계 올리는 교수-학습의 시작점이다 (펑가는 끝이 아니고 시작). 기하에서 van Hiele의 기하 사고 발달이론이 있다. 대수에서도 비슷한 이론을 생각해보자.

1) 변수에 대한 올바른 개념 지도를 위해 변수에 대한 학생의 이해 수준을 진단하여야 한다.

Kuchemann은 대수에서의 문자 사용에 대한 학생들의 이해 수준을 평가하려는 시도를 하였는데, 문자의 다양한 사용법을 위계적으로 분류하여 문자 이해의 4가지 수준을 설정한 후 그것을 Piaget의 인지발달 단계 안에 있는 하위단계에 대응시킨다. Kuchemann의 문자 사용의 6가지 유형은 다음과 같다.

구분	문자 사용의 특징
유형 1	문자를 수치화 함
유형 2	문자를 사용하지 않음
유형 3	문자를 어떤 대상으로 사용함
유형 4	문자를 특정한 미지수로 여김
유형 5	문자를 일반화된 수로 여김
유형 6	문자를 변수로 여김

일반적으로 유형 1, 2, 3은 문자에 대한 이해 수준이 낮은 경우인데, Kuchemann은 13, 14, 15세의 학생들이 문제를 해결할 때 이 3가지 유형 중의 하나의 유형에 머물러서 문제를 해결하는 것을 발견하였다. 여기서 유형 1, 2 는 문자 사용에 있어서 미숙하거나 오류를 일으키는 단계이다. 그리고 유형 3부터 문자를 어떤 대상으로 다루어 나감으로 이 단계부터 제대로 된 문자 사용을 시작할 수 있는 단계이다. 유형 3은 문자의 의미를 ‘추상적인 것’에서 ‘구체적이고 실제적인 것’으로 바꾸어 생각하는 것을 의미한다.) 유형 4는 문자를 특정하지만 알고 있지는 않은 수(또는 대상)로 여기는 경우를 말한다. 즉, 미지수가 어떤 수라고는 생각하지만 지금은 알지 못하는 수로 여기면서 계산을 행하는 것이다. 유형 5, 6 은 거의 대수에서 변수에 대해 수학적인 의미를 모두 획득한 상태를 의미한다. Kuchemann은 문자 이해 수준을 다음의 4단계로 나누었다.

	유형 1	유형 2	유형 3	유형 4	유형 5	유형 6	설명
문자 이해 수준 1	○	○	○				대수 구문의 이해와 문자식 계산에 있어서 불완전한 능력을 보인다.
문자 이해 수준 2	○	○	○				대수 기호를 올바로 사용하고 대수 구문을 바르게 이해하고 있다.
문자 이해 수준 3	○	○	○	○			문제의 구조가 간단한 경우에만 문자를 미지수로 다룰 수 있다.
문자 이해 수준 4	○	○	○	○	○	○	구조가 좀 더 복잡한 문제에서도 문자를 미지수로 다룰 수 있다.

그러한 이후에 Kuchemann은 Collis의 설명을 참고하여 구체적 조작기와 형식적 조작기에 있는 학생들의 사고에 있어서 문자 이해 수준을 Piaget의 인지발달단계와 그 하위단계에 다음과 같이 대응시키고 있다.

문자 이해 수준 1 : 구체적 조작 단계 말기 이전

문자 이해 수준 2 : 구체적 조작 단계 말기

문자 이해 수준 3 : 형식적 조작 단계 초기

문자 이해 수준 4 : 형식적 조작 단계 말기

위의 결과로 보면, 학생들은 형식적 조작기에 이르러서 수학에서 변수로 사용되는 문자에 대한 다양한 사용법을 비로소 완전하게 이해할 수 있다. 따라서 초등학교 고학년과 중학생의 경우에는 유형 1, 2, 3을 따른다고 볼 수 있으며, 이는 Kuchemann에 따르면 문자 이해 수준 1, 2 에 해당하는 내용이다. 또한 Piaget적으로 보면 구체적 조작기에 해당하는 것을 알 수 있다. 이러한 시기에 있어서 변수의 도입에 있어서도 단지 형식적인 문자를 도입하는 것보다는 구체적인 조작물을 이용하여 변수의 개념을 도입함으로써 위에서 제기하였던 단지 자리지기로서만 인식되는 변수의 개념이 올바르게 인식될 수 있는 것을 알 수 있다.

2) 변수에 대한 meaningful한 개념 이미지 (concept image)를 강조한다: Vinner는 개념을 개념 정의가 아닌 개념 이미지로 다루어야 한다고 주장한다. 개념 이미지란 주어진 개념과 관련되어 있는 심상, 개념에 관련된 여러 가지 성질 모두를 포함하고 있다. 여기서 개념의 심상이라는 것은 주어진 개념과 관련하여 개인의 마음속에 형성된 모든 표상 즉, 그림, 기호, 다이어그램, 그래프 등을 지칭하는 것이다. 이러한 개념 이미지는 개인에 따라 다르고 각 개인의 경험을 통해 오랜 시간에 걸쳐 형성되어 온 것이며, 새로운 경험을 동화하고 그것에 적응함에 따라 변하여 가는 것이라고 Vinner는 말한다. 이에 반하여, 개념 정의라는 것은 일반적인 수학의 정의를 지칭한다. 학생들이 변수 개념을 학습할 때, 변수에 대한 형식적인 정의는 중학교 1학년에서 처음 등장하지만, 그 이전에도 이미 여러 형태의 변수에 대한 개념을 접하게 된다. 고정된 대상에 이름을 부여하거나 구체적인 대상의 수를 구하기 위해 구하고자 하는 어떤 수를 □로 놓고 식을 세우는 것 등은 초등학교 수준에서 이미 변수를 다루고 있는 예이다. 이러한 경험을 통해서 학생은 변수가 대신하는 것은 ‘수’라는 생각을 갖게 된다. 이처럼 변수에 대해서 실제로 접하기 전의 변수에 대한 여러 수학적인 경험이 변수의 개념을 좌우하는 것을 알 수 있다. 이러한 것을 위해서 변수에 대한 개인적인 경험을 형성하여 주는 기회를 공급하는 것이 중요하며, 개인의 마음에 잘 남아있을 수 있는 예이어야 한다.

Piaget, as usual, made pertinent comments in this direction, long before any of the rest of us. He distinguished between empirical abstraction deriving knowledge from the properties inherent in real-world objects and pseudo-empirical abstraction deriving knowledge from the processes which the individual performs on the objects. Empirical abstraction constructs a perceived object, or percept. Pseudo-empirical abstraction constructs a conceived object which in many settings takes the form of a procept. For instance, a focus on the process of counting may progress to the idea that different ways of counting the same set give the same result, leading to the concept of number. Even though there may be no mental object corresponding precisely to the number 5 as there is with a perceived object, there is a huge cognitive structure built up allowing the individual to use the symbol 5 as if it refers to an object. The number 5 has a concept image, in the sense of Tall & Vinner (1981), consisting of all the mental pictures and associated properties and processes related to the concept in the mind of the individual. The symbol 5 or the word five can be written, spoken, heard, seen and read. It can be manipulated mentally as if it were an object. This is a common mode of mental activity not just in mathematics, but throughout our whole experience.

3) 변수에 대한 개념을 조작적인 방식으로 도입하여 realize 시킨다.

Anna Sfard는 수학적 개념과 표상에 관한 분석으로부터 수학적 개념은 기본적으로 두 가지의 상이한 방식 즉, 대상의 관점에서 보는 구조적 방식과 과정의 관점에서 보는 조작적 방식으로 인식된다는 주장을 제시하였다. Sfard는 조작적인 방식은 대부분의 사람들이 새로운 수학적 개념을 습득하는 첫 단계에서 일어나는 것이고, 개념 형성은 조작적인 방식에서 구조적인 방식으로의 전이에 의해서 일어나는 것으로 보고 있다. 이러한 과정을 3단계로 표현할 수 있는데, 내면화의 단계, 압축 단계, 실재화의 단계인 것이다. 내면화의 단계는 이미 잘 알고 있는 수학적 대상에 대한 몇 가지 조작이 수행되는 단계를 의미하며, 압축 단계는 이미 행한 조작과 과정이 좀더 다루기 쉬운 단위로 압축되는 것이고, 실재화의 단계는 이제까지 다루어 오던 무엇인가를 새로운 시각으로 바라보게 되는 단계이다.

따라서 변수의 개념 지도에 있어서도 먼저 내면화의 단계를 거치는 것이 중요하다. 이러한 내면화의 단계를 위해서는 학습자가 쉽게 조작해 볼 수 있는 도구이어야 하며, 또한 친숙해서 쉽게 이해할 수 있는 것이어야 한다.

Several theories have been proposed to describe the transition from process to object in mathematical thinking. Yet, what is the nature of this “object” produced by the encapsulation of aprocess? Here we outline the development of some of the theories (including Piaget, Dienes, Davis, Greeno, Dubinsky, Sfard, Gray & Tall) and consider the nature of the mentalobjects (apparently) produced through encapsulation, and their role in the wider development of mathematical thinking. Does the same developmental route occur in geometry as in arithmetic and algebra? Is the same development used in axiomatic mathematics? What is the role played by imagery?

The name procept arose because of the symbols dual role as process and concept. The notion of procept is present throughout a large portion of mathematics. Tall & Thomas (1991) had already noted that, for many children, an expression such as 2 + 3x may be conceived as a process which cannot be carried out until the value of x is known  a reinterpretation of the notion of lack of closure discussed by earlier authors. This lack of closure is none other than the focus on the procedure of evaluation rather than on an algebraic expression as a manipulable procept. Gray and Tall (1994) also noted the peculiar case of the limit concept where the (potentially infinite) process of computing a limit may not have a finite algorithm at all. Thus a procept may exist which has both a process (tending to a limit) and a concept (of limit), yet there is no procedure to compute the desired result. Table 1 shows a summary of the discussion so far. It does not intend any direct correspondence between the stages of the theories, simply that each passes through a development of growing sophistication from some kind of procedure/process usually performed step-by-step and ending with an object/concept that can be manipulated as an entity in its own right. The intermediate stages specified in each line are not intended to correspond directly. For instance, Greenos input to another procedure is essentially the same as conceiving a programming procedure as an entity, whereas Dubinsky characterizes the individuals ability to take control of a repeatable action, and Sfards focus is on the ability to think of the process in terms of input/output without needing to consider the intermediate steps. The wider literature of the various authors suggests further similarities and differences between their ideas. For instance, there seems to be broad agreement that a function as a process is determined as a whole by inputoutput, regardless of the internal procedure of computation. Thus the functions f(x) = 2x+6 and g(x) = 2(x +3) are one and the same as processeseven though the arithmetic procedures to compute them have a different sequence of operations. The intermediate stage(s) intimate how (one or more) specific procedures become seen as a single process without needing to carry out the intermediate steps. What seems more problematic is to explain precisely what is meant by the object hypothesized as being constructed by encapsulation.

4) 변수가 ‘함수적 대수’의 개념을 내포하도록 지도한다.

구조적인 대수를 향한 첫 단계는 생략적 대수 말기에서 나타나기 시작하는데 그 당시 문장제를 풀이할 때 디오판토스는 10 - x  , 10 + x  와 같은 식을 구성하고 그것들이 하나의 수인 것처럼 다루었다. 즉 문자는 고정되어 있는 미지의 값을 나타내는 것으로만 인식하였다. 이것은 Kieran이 ‘함수적 대수’라고 칭하는 단계 곧, 문자를 고정된 양이 아니라 변하는 양을 나타내는 것으로 이해하는 단계와 구분된다. 현대의 수학에 있어서 ‘함수적 대수’의 개념은 보편적인 개념이므로 학생들이 이러한 경험을 간접적으로 할 수 있도록 변수의 개념을 지도하여야 한다.

5) 前수학적(pre-mathematical) 단계를 고려하여 변수를 지도한다.

Freudenthal에 의하면 수학적 개념의 학습 과정은 바닥 수준에서 출발하여 탐구 수준으로 더 나아가 보다 상위의 수준으로 거듭되는 비약에 의해 특징지어지는 수학화 활동으로서, 학습의 본질은 인식 수준간의 비약이 이루어지는 불연속적인 과정이다. 따라서 학교수학에서 학생들의 수학적 사고 활동을 강화시키는 방향으로 수학의 학습 지도가 이루어지려면 그것은 바로 ‘수학화의 경험’을 제공해야 한다.

또한 Freudenthal은 학교수학의 개념 지도에서 중요하게 다루어야 할 부분은 수학적 개념의 획득이 아니라 수학화 활동을 통한 ‘개념화’임을 강조하고 있다. 그는 개념획득과 개념화의 차이를 다음과 같이 설명한다. 개념획득을 위한 학습-지도에서는 형식화된 개념을 곧바로 도입하거나 형식화된 개념을 초등화하여 도입하는데 반해 개념화는 학습-지도의 목표를 개념의 본질을 점차로 형식화해 나가는 수학화 활동에 두고 개념의 형식화에 앞서 먼저 학습자로 하여금 개념이 발생한 맥락을 경험하게 하고 개념에 대한 심상을 구성하게 한 후 계속되는 사고의 비약을 꾀하는 것이다.

Freudenthal은 현재 학교수학에서의 ‘바닥 수준의 무시’를 전통적인 수학교육에서 가장 흔히 볼 수 있는 오류라고 지적하고 있다. 변수 지도에 있어서의 바닥수준의 무시는 구체적 조작 단계에서 학생들에게 풍부한 현실 경험을 제공하지 않는 데에서 찾아볼 수 있다. 학교수학에서는 수학적 개념 학습의 상대적인 수준에 대한 고려를 하지 않고 더군다나 개념 학습의 초기 수준을 무시한 채 개념을 지나치게 간략화된 정의와 함께 직접적으로 도입 제시하고 있다. Freudenthal은 탐구 수준에서의 활동은 바닥수준에서 했던 자신의 활동을 반성함으로써 비로소 가능해지는 것이라고 말한다. 따라서 바닥수준에서 일어난 학습자의 활동은 실제 수학을 하는 탐구 수준에서의 활동과 구별하여 ‘비수학적’이라고 단정 지울 수 없으며, 바닥수준에서의 활동이 실제 수학을 한 것이라고 보기는 어려울지라도 반성을 통해 수학적 개념으로 조직될 수 있는 조작적 활동을 한다는 의미에서 ‘前수학적(pre-mathematical) 단계’라고 말할 수 있다는 것이다. 이와 같은 이유로 하여 학교수학에서는 개념 이전에 개념을 받아들일 준비를 시키는 ‘전개념’의 단계를 충분히 고려하여야 하며 이를 위해서는 바닥수준에서의 개념의 구체화 다시 말하면, 개념이 발생한 맥락과 조작적 특성을 고려하는 풍부한 경험을 제공할 필요가 있다는 것이다.

Freudenthal (1994) Horizontal mathematiz(s)action leads from the world of life to the world of symbols. In the world of life one lives, acts; in the other one symbols are shaped, reshaped, and manipulated, mechanically, comprehendingly, reflecting; this is vertical mathematization. The word of life is what is experienced as reality, as is symbol world with regard to its abstraction. The distinction between horizontal and vertical mathematizing depends on the specific situation, the person involved and his environment. Apart from these generalities, examples on various levels are the best way to explain the difference between horizontal and vertical mathematizing.

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Freudenthal defined his mathematization based on levels. As soon as science outgrows mere collecting, it becomes involved in the organization of experiences. It is not difficult to indicate the experiences that should be organized in arithmetic and geometry. Organizing the reality with mathematical means is today called mathemtizing. The mathematician, however, is inclined to disregard reality as soon as the logical connection promises faster progress. A stock of mathematical experience is formed; it asks for its part to be organized. What kind of means will serve this purpose? Of curse, mathematical means again. This starts the mathematizing of mathematics itself; first locallyMathematics Organizing with Mathematical means. Experiences in the world or Mathematical Experiences

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Freudenthal proposed Van Hiele Levels as general framework for mathematization in school mathematics;

The learning process is structured by levels. The activity of the lower level, that is the organizing activity by the means of this level, become an object of analysis on the higher level; The operational matter of the lower level becomes a subject matter on the next level.

1. Students explore matter (object) using figures (method).

2. Students explore the figures using the properties

3. Students explore the properties of figures using implication.

4. Students explore the proposition, which is formed by implication, using proof.

5. Students explore the proof, which formed by intuitive logic, using formal logic.

Generalization of van Hiele Levels : Stoliar (1969), Hoffer (1983), etc.

Hoffer generalized the levels with the idea of Categories

1. Objects are the base elements of the study.

2. Object are properties that analyze the base elements.

3. Object are statements that relate the properties.

4. Object are partial orderings (sequences) of the statements.

5. Object are properties that analyze the partial orderings.

On the other hands, many general frameworks only focused on that the method of activity is the object of next activity and lost the idea of levels. What kind of ideas were lost only focusing on it?

Empirical abstraction arises through a focus on the objects being acted upon, while pseudo-empirical abstraction focuses on actions and their subsequent symbolization and conception as encapsulated objects. Tall (1995) hypothesized that these begin distinct sequences of construction, one in geometry which follows a broad development described by Van Hiele (1986) and another in arithmetic and algebra based on symbols dually representing process and concept. After the initial use of empirical and pseudo-empirical abstraction, constructions proceed also by reflective abstraction that occurs through reflections on the manipulation of mental objects already constructed. However, we see differing kinds of reflective abstraction depending on the focus of

attention of the construction process.

In geometry, although there are many processes involved, including the formal processes of geometric construction, we hypothesize that the main focus is initially on objects. This leads to a sequence of development from teasing out the properties of the objects, making verbal descriptions, thinking about relationships, verbalizing inferences, formulating verbal proofs, leading to a broad development after the fashion described by Van Hiele (1986). As the development becomes more sophisticated, the form of object construction becomes more subtle. In the initial stages the child is building a conceptual meaning for real-world objects and their properties by perceiving and acting upon them to construct percepts (through empirical abstraction). The next Van Hiele stage involves classifying these percepts into separate classes that are not yet hierarchical, for instance, squares (four sided figures with right angles and all four sides equal) are not special cases of rectangles (which only have opposite sides equal). The next stage builds up hierarchies by using verbal descriptions. The focus switches from the objects described to the nature of the descriptions themselves that are then used to define objects. At this stage mental objects are constructed as imaginary manifestations of the perfection of the definition, for instance, lines with no thickness that can be extended arbitrarily in either direction. Thus the construction of perceived geometric objects leads later to conceived geometric objects which, though imagined in the minds eye, and discussed verbally between individuals, are perfect entities that have no real-world equivalent. Tall (1995) referred to these conceived objects as platonic objects, and quoted the observations of G. H. Hardy explaining his conceptions as a professional mathematician:  I draw figures on the blackboard to stimulate the imagination of my

audience, rough drawings of straight lines or circles or ellipses. It is plain, first, that the truth of the theorems which I prove is in no way affected by the quality of my drawings. Their function is merely to bring home my meaning to my hearers, and, if I can do that, there would be no gain in having them redrawn by the most skilful draughtsman. They are pedagogical illustrations, not part of the real subject-matter of the lecture. (Hardy, 1940, p. 125.) The mental objects of higher geometrical thinking are therefore no longer

the physical drawings of the individuals, but shared platonic mental conceptions with perfect properties that underlie them. In arithmetic, the initial focus is on processes, such as counting, addition, subtraction, and on the symbols used to represent them. The encapsulation of processes into arithmetic procepts (using symbols as a pivot between the two) also change in their cognitive sophistication as the conceptions are built in later developments. In arithmetic all the symbols have built-in computational processes to give an answer. In algebra the symbols are now algebraic expressions which only have a potential process of inner computation the evaluation of the expression when the variables are given numerical values. Despite this, the symbols themselves can be manipulated algebraically and a finite number of such manipulations can be used to solve linear and quadratic equations. In the calculus the situation changes again, with limit processes that are now potentially infinite and so we may have a limit concept which has an infinite process attached with no finite procedure of computation. Thus, although the symbols all have a process-concept framework, which enables them all to be classified as procepts, the changes in the nature of the procept cause major cognitive difficulties in the transition from arithmetic to algebra and algebra to calculus. This also explains why students are so much more able to compute with the finite procedural rules

for differentiation in the calculus than conceptualize the infinite process of limit. Focusing on both operational processes and the properties of objectseither in turn or at the same timegives a versatile approach (Tall & Thomas, 1991). This proves particular valuable when computer software is available to carry out the processes internally, allowing the individual to focus either on the study of the processes, which they may carry out (or program) for themselves, or on the concepts produced by the computer (Tall & Thomas, 1989). Versatile approaches have proved successful in research studies. Thomas (1988) used visual properties, such as studying the evaluation of expressions (carried out by the student) separately from the properties of (equivalent) expressions, evaluated by the computer, producing significant improvements in symbols as process and concept. Tall (1985) used the local straightness of graphs represented by computer software to complement the process of symbolic differentiation and produced significant improvements in visual interpretations of concepts of the slope of a graph. Hong & Thomas (1997) used a versatile approach to the integral calculus to produce corresponding improvements in conceptualization. A versatile approach has also been shown to give flexible insight into the relationship between figures in trigonometry and their corresponding symbolic trigonometric functions (Blackett & Tall, 1991). This involves the proceptual structure of the symbolism relating the process of computing the trigonometric ratio (as opposite over hypotenuse) to the concept of trigono metric function (in this case sine). In elementary mathematics a versatile approach links proceptual symbolism of arithmetic and algebra to visual representations using a number line and coordinate plane. As visual and symbolic aspects grow in sophistication, they may be linked together in different ways, with a curriculum designed to build from those aspects more easily grasped by the individual to building up more sophisticated aspects. This occurs in the locally straight approach to the calculus where the visual and enactive notion of local straightness (with its dynamic computer pictures) can be explored before, or in tandem with, the numerical or algebraic facets which have a more sophisticated notion of locally linear (with its ensuing symbolism). Likewise the inverse process of solving differential equations can be performed visually and enactively supported by computer software to give a perceived solution before the numeric or symbolic processes are studied in detail.

A further case of process-object construction is the notion of a defined object. For Dubinsky this is again a case of encapsulation of process into object. In the sense of Sfard, it has structural overtones because the definition specifies certain structural criteria. However, just as Sfards notion of structural has two different senses, there are two corresponding meanings to an object specified by a definition. Our earlier discussion of Euclidean geometry noted that the individual has in mind certain mental objects that are then defined linguistically, such as a line, a point, a triangle, and a circle. This notion of definition is consonant with the notion of definition in a dictionary. It specifies an object by referring to other familiar ideas encountered earlier by the individual. There may be well-known examples of such a defined object that all seem to have a common property, and yet this property may not follow from the specified criteria. For instance, the notion of triangle carries with it the properties inherent in two-dimensional space. Its angles add up to 180°. Yet if a triangle is defined formally in some other type of geometry, for instance the geometry on the surface of a sphere (on which we happen to livegeometry means earth measurement)then the sum of its angles may be different. Just try cutting the skin of an orange and see. Two cuts through the north pole at right angles to one another meeting a cut round the equator will give a spherical triangle with three right angles, adding up to 270°. Euclidean constructions may carry with them certain implications that may not follow from the definitions. (One famous case in Euclid concerns the meeting of the diagonals of a rhombus inside the figure, when the idea of inside had not been defined. Although the notion of inside appears to be a primitive intuition, when a triangle is drawn on a sphere, the inside is but the smaller of the two regions into which the triangle divides the circle. Hence, as a small triangle increases smoothly in size until it is greater than half the surface area of the sphere, what may be termed the inside becomes the outside and vice-versa.) The shift from Euclidean geometry, with its platonic objects based on the refined perceptions of the senses, to axiomatic geometries where everything is defined purely in terms of explicit axioms and logical deductions was noted as a further stage in cognitive development by Van Hiele. This confirms the need to distinguish between two different constructions of defined objects—platonic objects found, for example, in Euclidean geometry, and axiomatic objects constructed within a theory founded on axioms.

온라인 상에서 올바른 변수 개념 지도를 위한 소프트웨어 이용의 예

1) 연립 방정식의 해결

일반적으로 초등학교 고학년 및 중학생들이 어려워하는 문제는 다음과 같은 몇가지 유형을 가지고 있다.

가) 미지의 두 수의 합과 차가 주어졌을 때, 두 수를 구하는 형태

[문제]

형과 내 나이의 합은 25살인데, 형과 내 나이의 차는 3살이다. 형과 나는 각각 몇 살인가?

나) 정해진 수량의 물건을 일정한 수만큼 정해진 사람에게 나눌 때, 남거나 부족한 수□□□ 알고 있는 경우, 사람의 수와 물건의 수를 각각 알아내는 형태

[문제]

몇 명의 친구에게 귤을 7개씩 나누어주면 5개가 부족하고, 5개씩 나누어주면 11개가 남을 때, 친구의 수와 귤의 개수는 몇 개인가?

다) 어떤 수를 나눌 때, 각각의 분배값의 전체 합에서 서로의 차나 비율 등을 기본으로 해서 분배된 값을 알아내는 형태

[문제]

삼 형제가 37개의 귤을 나누기로 했다. 동생은 제일 적게 가지고, 나는 동생보다 5개 많이 가지고, 형은 나보다 6개 많이 가지기로 했다. 우리 삼 형제는 각각 몇 개의 귤을 가졌는가?

라) 두루미와 거북이의 마리 수를 알고 있을 때, 두루미와 거북이의 각각의 마리 수를 구하는 문제의 형태

[문제]

두루미와 거북이의 마리 수를 합하면 20 마리이고, 그 다리 수를 합하면 50개이다. 두루미와 거북이는 각각 몇 마리인가?

마) 어떤 두수의 차가 아버지와 아들의 나이의 차이처럼 항상 일정할 때, 이런 관계를 이용하여 아들 나이와 아버지 나이의 배수 관계등을 계산하는 형태

[문제]

올해 아버지의 나이는 40살이고, 아들의 나이는 12살이다. 지금부터 몇 년 후에 아버지의 나이가 아들 나이의 3배가 되는가?

예를 들어, 가)의 문제의 경우 해결책을 2가지로 생각할 수 있다. 하나는 두 수의 합에 차를 더해서 반으로 나누면 형의 나이가 나오는 것이고, 또 다른 하나는 두 수의 합에서 차를 빼서 반으로 나누면 동생의 나이가 되는 것이다. 이러한 것을 식으로 나타내면 다음과 같이 될 것이다.

형의 나이 : x , 동생의 나이 : y  라고 하면,

x + y = 25  (

x-y=3  (

( + ( : 2x = 28

x=14, y=11

그러나 이러한 형식화를 할 수 있는 학생은 몇 되지 않으며, 혹 할 수 있다 하더라도 위에서 살펴본 것과 같이 아직 중학생까지는 구체적 조작기의 말기이므로 기계적으로 학습되어서 이루어졌을 가능성이 높다. 이러한 관점에서 변수에 대한 구체적인 조작물의 필요성이 나타나게 되는데, 여기서는 막대를 이용하여 변수를 나타내어 연립방정식의 해결의 지도에 이용하고자 한다.

다음 환경은 자바수학(JavaMath) 소프트웨어와 플래시가 연동되어 이루어진 환경이다. 본 환경에서는 오른편의 플래시 환경에서 설명이 나오고 왼편의 자바수학 환경에서는 오른편에서 한 연립방정식 해결에 대한 ‘수학적 경험’을 형성하기 위한 탐구환경을 제시하고 있다. 또한 오른편의 환경과 왼편의 환경은 통신이 이루어질 수 있다. 즉 합과 차의 숫자에 다른 숫자를 집어넣고 자바 수학 실행을 누르면 그 결과가 왼편의 자바수학 환경에 제시된다.

본 환경의 특징은 다음과 같다.

a. 변수에 대한 구체적인 개념을 가질 수 있게 한다.

b. 구체적 조작기에 맞는 구체적인 조작물로서 연립방정식을 지도하게 한다.

c. 변수에 대한 개념 이미지 형성에 있어서 연립방정식의 계산을 막대기의 길이를 줄이고, 늘이는 데 있어서 이미지 형성에도 도움이 된다.

d. 함수적 대수의 개념을 담고 있다. 즉, 위 환경에서는 막대를 움직여서 스스로 답을 맞추어 볼 수도 있는데, 이는 여러 가지 값을 미지수에 대입해 본 후 맞는 것을 선택하는 것으로 미지수가 임의의 수의 의미를 담고 있다는 함수적 대수의 개념을 담고 있는 것이다.

2) 인수 분해의 해결

인수 분해에 있어서는 이전부터 대수타일이 많이 이용되어 왔다. 대수타일은 탠그램(tangram)의 연장선상에서 여러 조각들을 정사각형이나 직사각형 등으로 맞추는 것이다. 초기 단계에 있어서는 양수(노란색)만 제공이 되다가 점차 수준을 높여서 음수(회색)도 제공된다. 또한 초기에는 사각형 조각들에 x 나 -1 이 써 있지 않다가, 점차적으로 대수 기호를 사용하기 시작한다.

본 환경의 특징은 다음과 같다.

a. 문자 조작에 대한 구체적인 조작 환경을 제공하고 있다.

b. 문자 및 인수 분해에 대한 개념 이미지를 형성하는데 있어 단지 무미건조한 기호 조작의 의미로서만 지도할 것이 아니라, 구체물을 통해서 직관적인 이미지 및 이전에 갖지 못한 새로운 개념을 갖도록 할 수 있다.

c. 前수학적 단계를 거치게 해 준다. 즉, 이 자체가 직접적인 수학으로는 볼 수 없을 수 있으나 수학화되기 위한 준비단계로서 풍부한 수학화의 경험을 제공한다.

3) 대수 타일의 수학적 귀납법에의 적용

수학적 귀납법은 중학교 이상의 과정이지만 대수 타일을 이용하여 수학적 귀납법을 지도할 수 있다.

[예제] 연속적인 홀수의 합

공식을 사용하는 것이 없이, k 가 홀수라면,  (k+1)^ 2 /4  가 왜 정수인지 설명하라.

위의 예는 블록 단위 1 짜리 4개, 3짜리 4개, 5짜리 4개 이렇게 확장하여서 큰 정사각형을 형성해 나가는 예이다. 이것은 무한히 반복될 수 있다. 왜냐하면 이것은 일정한 절차가 있기 때문이다. (그 다음 단계의 블록을 사방으로 싸나가면 된다.; 그림은 잘못되어 있다. 5개 짜리 블록이 나와야 함.)

이 예는 수학적 귀납법에 대한 절차를 이해하지 못하는 학생들을 위해서 고안된 것이다. 이 형태는 사각형 또는 사각형 물체가 주어지면 그것을 맞추면 적절한 닫힌 형태가 얻어진다. 이는 자연스러운 사고과정을 유도하고 있고, 수학적 귀납법의 아이디어가 인위적인 것이라기 보다는 자명하다는 것을 보여준다.

본 환경의 특징은 다음과 같다.

a. 수학적 귀납법의 수학적인 정의를 이해하지 못하여 포기하는 학생이 많은데, 그에 대한 구체적인 예를 제시함으로서 학생들로 하여금 前수학적 단계를 제공한다.

b. 증명 단계에 대한 구체적인 조작을 통해서 절차를 배울 수 있도록 돕는다. 특히 잘 구성된 워크시트를 통해서 학습하여 나갈 때, 수학적 귀납법의 자연스러운 아이디어를 이해할 수 있다.

c. 무미건조한 문자 조작이 아닌 수학적 귀납법에 대한 개념 이미지를 형성할 수 있도록 한

다.