<DGS를 이용한 부등식의 영역 찾기>

학과 : 수학교육과

학번 : 2000-14196

이름 : 백승주

지금까지 수학교육을 공부하면서 구성주의 학습에 대해 배우고 공부를 해보았지만, 실제로 학생중심의 구성주의 학습이 가능한가에 대한 의문을 많이 가졌었다. 그러나 지난번 수학과 교육 수업을 들으면서 수학에서도 그러한 구성주의 학습이 실제로 가능하다라는 사실을 알고 매우 놀라고 감탄하였다. 특히 학생들이 수학실험 도중에 어느 수학자도 발견해내지 못한 Fermat Point라는 점을 발견한 사실에 대해서는 감탄하지 않을 수 없었다. 우리나라에서는 아직 체계도 덜 잡히고, 또 잘 이루어지고 있지는 않지만 DGS 혹은 컴퓨터를 이용한 수학 실험이 도입된다면 학생들의 수학 교육에서 매우 큰 효과를 볼 수 있지 않을까 생각한다.

<DGS를 이용한 부등식의 영역 찾기>

우리는 고등학교 때 부등식의 영역이나 그 밖의 여러 가지 도형문제, 또는 그래프를 그리는 문제를 칠판과 분필만을 이용하여 □이러이러할 것이다□라는 예측만을 하고, 또 대략적인 내용만을 교사가 보여줄 뿐이었다. 그 그래프가 진짜로 그러한 모양을 나타내는지, 또는 그 영역이 실제로 그래프에서 보았을 때, 정말로 그렇게 표현되는지 확인한 바 없이 그냥 받아들일 뿐이었다.

예를 들어 부등식의 영역을 찾는 다음과 같은 문제를 하나 살펴보자.

[eqn: (x^{ 2 } -4y^{ 2 } )(x^{ 2 } -6x_{ } +y^{ 2 } +8) <= 0]의 영역을 좌표평면위에 나타내자. 우리가 고등학교 때 보통 배운 바로는 다음과 같은 과정을 거쳐서 이 문제를 푼다.

①우선 부등식을 이루고 있는 두 부분, 즉 [eqn: x^{ 2 } -4y^{ 2 } =0]과 [eqn: x^{ 2 } -6x+y^{ 2 } +8=0]의 그래프를 각각 그린다. 즉 다음과 같이 나온다.

② 다음으로 두 그래프의 경계면에 포함되지 않은 임의의 한 점 A를 부등식의 식 즉 [eqn: (x^{ 2 } -4y^{ 2 } )(x^{ 2 } -6x+y^{ 2 } +8)]에 대입해 본다. 만약 대입한 결과가 0보다 작거나 같으면 그 점은 [eqn: (x^{ 2 } -4y^{ 2 } )(x^{ 2 } -6x_{ } +y^{ 2 } +8) <= 0]을 만족하는 것이 되고, 그 점뿐만 아니라 그와 같은 경계를 갖고 있는 다른 점들도 부등식을 만족한다고 본다. 또한 그 영역과 이웃하지 않은 다른 영역들도 부등식의 영역을 만족한다고 보고, 색칠을 한다. 반면에 A라는 점을 대입한 결과가 0보다 크거나 같으면 그 점은 부등식 [eqn: (x^{ 2 } -4y^{ 2 } )(x^{ 2 } -6x_{ } +y^{ 2 } +8) <= 0]을 만족하지 않으며, 그 점과 같은 경계를 갖고 있는 부분들은 모두다 그 부등식을 만족하지 않는다고 본다. 그래서 그와 이웃한 영역은 부등식의 해로 간주하고, 그렇지 않은 부분들은 부등식의 해라고 보지 않는 것이다.

만약 A가 (1,3)이라는 점이라고 하면 다음과 같다.

A를 부등식에 대입해보자. 그러면 다음과 같은 결과를 얻는다.

[eqn: (1^{ 2 } -4 TIMES 3^{ 2 } )(1^{ 2 } -6 TIMES 1+3^{ 2 } +8)]=[eqn: (1-36)(1-6+9+8)]=[eqn: -35 TIMES 12]=-420이 된다. 즉 A라는 점을 대입하면 음수가 나오므로 A는 부등식 [eqn: (x^{ 2 } -4y^{ 2 } )(x^{ 2 } -6x_{ } +y^{ 2 } +8) <= 0]를 만족한다. 그러므로 A와 같은 영역에 있는 모든 점들은 부등식을 만족시키고, A와 이웃하지 않는 점들은 부등식을 만족시키므로(왜 그런지에 대한 것은 거의 배우지 않고, 또 아는 학생들도 거의 없다.) 부등식의 해가 된다. 그것을 그림으로 표현하면 다음과 같다.

A를 포함한 영역은 모두 부등식의 영역에 포함된다. 그리고 A와 이웃하지 않은 영역은 부등식의 영역에 포함된다.

③마지막으로 [eqn: =]이 식에 포함되는지 확인한다. [eqn: =]이 포함될 경우, 이 부등식의 영역은 경계선을 포함하고, [eqn: =]이 포함되지 않을 경우 이 부등식의 영역은 경계선을 포함하지 않는다. 이 문제에서는 [eqn: =]이 식 즉, [eqn: (x^{ 2 } -4y^{ 2 } )(x^{ 2 } -6x_{ } +y^{ 2 } +8) <= 0] 에 포함되므로 부등식의 영역은 경계선을 포함한다.

그러나 이러한 방법은 기계적인 계산과 연습으로 익힌 방법일 뿐이다. 대부분의 학생들은 왜 그런지에 대한 이유를 알지 못한다. A라는 점이 부등식의 영역에 포함된다고 해서, 왜 그 와 같은 경계를 가진 모든 점들이 부등식의 영역에 포함되는지, 그리고 그와 이웃한 영역은 왜 부등식의 영역에 포함되지 않는지, 또 [eqn: =]이 포함되면 경계선은 포함되며 [eqn: =]이 포함되지 않으면 경계선이 포함되지 않는지에 대한 것을 거의 알지 못한다.

그래서 이러한 부등식의 영역의 풀이를 DGS를 이용하여 이 문제를 기계적이고 숙련에 의한 것이 아니라, 실제로 학생들이 받아들일 수 있도록 구성해 보도록 하겠다.

우선 컴퓨터를 이용하여 [eqn: x^{ 2 } -4y^{ 2 } =0]과 [eqn: x^{ 2 } -6x+y^{ 2 } +8=0]의 그래프를 그린다.

컴퓨터에 미리 수식을 주어놓고, A라는 점에 함수를 부여한다. 즉[eqn: x^{ 2 } -6x+y^{ 2 } +8=0], 컴퓨터는 A라는 점이 움직일 때마다 값이 변하는 것을 보여주는 데, 여기서의 값이란, A점의 값을 식,  [eqn: (x^{ 2 } -4y^{ 2 } )(x^{ 2 } -6x+y^{ 2 } +8)]에 대입한 값이다. 물론 여기에서 점 A는 움직일 수 있는 수이다. 즉 그것을 살펴보면 다음과 같다.

위의 그림에서 A의 위치가 변할 때마다              는 각각 다른 값, 즉 컴퓨터가 A라는 점을 수식에 넣어서 대입한 값을 나타낸다. A의 처음 위치가 (1, 3)이면               의 값은 -420을 나타낼 것이고, 만약 A가 위의 자취를 따라가다가 (-1,0)까지 움직였다고 하면, 이 값은 연속적으로 변하다가, 15를 가리킬 것이다.

이렇게 A를 움직이는 과정을 여러 번 하다보면 학생들은 A가 위의 경계부분에서는 모두 같은 부호를 가져서 한 경계안의 부분들은 모두 다 똑같이 부등식을 만족시키는 영역이 되거나 그렇지 않다는 사실을 발견할 수 있을 것이다. 또한 A점을 움직여가다가 경계점에서는 모두다 공통적으로 0이라는 값을 갖는다는 사실을 학생들은 스스로 깨달을 수 있을 것이다. 그러한 사실을 발견한 학생들은 왜 그런지에 대해 궁금증을 갖고 그 문제에 대해 생각해 보게 되지 않을까 생각한다. 즉, 이러한 수학 실험은 학생들이 스스로 발견하게 함은 물론이고, 그 원인에 대한 생각을 하도록 유도함으로써 학생들의 사고력을 확장시키는데 도움을 줄 수 있는 것이다.

학생들이 이러한 실험을 하는 도중 만약 어려움을 느낀다면, 다음과 같이 좀더 쉽게 접근할 수 있도록 위 문제와 관련된 쉬운 문제를 주는 것도 좋을 듯싶다.

여기에서처럼 A를 선 위에만 움직일 수

있도록 고정시켜 놓는 것이 그것이다.

A가 선 위에서만 움직인다면 컴퓨터에서

지정해놓은 함수값은 즉

[eqn: (x^{ 2 } -4y^{ 2 } )(x^{ 2 } -6x+y^{ 2 } +8)]는 0의

값만을 가진다. 그렇기 때문에 =이 들어

간 부등식, 즉

[eqn: (x^{ 2 } -4y^{ 2 } )(x^{ 2 } -6x_{ } +y^{ 2 } +8) <= 0]에

서는 경계선을 포함하는 것이다.

이렇게 학생들에게 스스로 문제를 해결하도록 하는 것은 기계적인 계산에 비해 매우 큰 효과를 걷을 수 있을 것이라 생각한다. 적어도 학생들은 이러한 수학실험을 통하여 문제를 해결하려는 노력을 할 것이고, 왜 그런지에 대해 생각할 수 있는 기회를 가질 수 있기 때문이다. 그리고 무엇보다 중요한 것은 그냥 앉아서 문제를 풀 때보다 이러한 DGS를 이용한 학습이 학생들의 흥미를 더욱 크게 자극하지 않을까 생각한다. 학습에 있어 자발성은 필수적인 요소이고 그것을 이끌어 내는데 작용하는 큰 요소 중의 하나가 바로 흥미이다. 즉 DGS를 이용한 학습은 이러한 흥미를 이끌어 내면서, 문제 해결력을 향상시킬 수 있는 일거양득의 방법인 것이다.