Schemata and Intuitions in Combinatorial Reasoning

(조합적 추론에 있어서의 도식과 직관)

- EFRAIM FISCHBEIN and ALINE GROSSMAN -

※ EFRAIM FISCHBEIN(1920~1998)

Fischbein은 1920년 루마니아 태생으로 고등학교에서 수학과 철학을 가르쳤다. 1949년 Bucharest 대학의 교육심리학과에서 강의를 맡아 하였으며 1858년부터 1975년 까지 그는 Bucharest의 심리 연구에서 교육 심리학과장을 맡았다.  그의 연구는 아동의 발달, 인지 심리, 그 기간의 수학 교육 등이었는데 자료의 해석을 통해 그가 제시한 통찰과 체계적 방법론으로 특징지어진다.

1975년까지 그는 수학교육의 연구에서 중요한 부분을 차지했다. Romania를 떠나 Israel로 가서는  Tel Aviv 대학의 수학 교육 교수 자리를 제안 받는다. 그곳에서 그는 과학 교육과를 만들고 가르치며 활발히 연구했다.

그는 수학과 과학을 배우고 가르치는데 있어서 직관의 역할에 대한 이해로 잘 알려져 있다.  이 분야에서 그의 첫째 공헌은 확률과 조합론과 관련한 직관이다. 그는 심리학과 교육에 있어서 견고한 다리를 놓는 역할을 한다. 그의 저서인 ꡒThe Intuitive Source of Probablistic Thinking in Childrenꡓ과 관련하여 Hans Freudenthal은 다음과 같이 격려하였다.

ꡒ Fischbein은 인지적 진보로써 개념으로부터 직관으로 강조점을 전환시키고 있는데 이것은 수학을 가르치는데 있어 이점으로 작용할 수 있을 것이다.ꡓ

그의 직관적 사고에 대한 이해와 직관과 다른 종류의 사고에 대한 관계는 무한에 관한 연구나 곱셈과 나눗셈의 모델에 관한 연구 , 직관과 증명의 관계에 대한 연구 등으로 뒷받침 될 수 있다. ꡒIntuition in Science and Mathematicsꡓ에서 그는 직관에 대한 이론적이고 포괄적인 관점을 제안하고 관계된 실험적 결과를 조직했으며 교육적 함의에 대해 논하고 있다.

수학 교육에 있어 그의 또 다른 공헌 중 하나는 PME(The International Group for the Phsychology of Mathematics Education)를 창설하고 이끌어 온 점이다.

1998년 초에 그는 세 번째 저서인 ꡒIntuition, Shemata and Models in Mathematical and Scientific Reasoningꡓ을 저술하기 시작했으나 끝을 맺지는 못했다.

※ Aline Grossman

조합론적 추론에 대한 논문으로 Fischbein에게 석사 학위를 받았다. 이 논문에 기초하여 나온 것이 ꡒSchemata and Intuitions in combinatorial reasoningꡓ이다. 이것은 실제로 Fischbein가 쓴 논문 ꡒSchemata and Intuitions in mathematics reasoningꡓ의 일부에 대한 자세한 기술이라고도 볼 수 있다.

※ 주요 개념 : intuition, shemata

※ 주요 전제 : 직관은 언제나 어떤 구조적 도식에 기초하고 있다.

※ 초록

본 연구에 의해 제기되는 문제들은 도식과 직관의 관계에 대한 것이다. 이 두가지 정신적 범주는 공통적인 특징들이 있다. 안정성, 적응할 수 있는 유연성, 내적 일치성과 일반성 등이 그것이다. 도식은 피아제식의 사고선상(Piagetian line of thought)에 따라 정의된다. 정보를 해석하고 처리하는 프로그램으로써나, 적응할 수 있는 행동을 수행하고 설계하는 프로그램으로써 정의된다. 직관은 전체적이고 직접적인 인식으로써 이 글에서는 정의되어 있다. 이전의 결과에 기초하여, 우리의 주된 가정은 직관이 항상 어떤 구조적 도식에 기초하고 있다는 것이다. 본 연구에서는 이 가정을 조합적 문제(순열, 복원 배열과 비복원 배열, 조합) 와 관련되어 검증한다. 직관은, 즉각적인 추측에 의해 표현될 때에도, 그것이 옳든 그르든,  실제로  ‘보이지 않게(behind the scenes)’도식에 의한다는 것이 밝혀졌다. 이것은 곧, 교훈적으로 학생들의 직관에 영향을 주기 위해, 이러한 직관들이 기초하고 있는 도식을 확인하여 작용할 수 있도록 해야 한다는 것을 함의한다. 이 연구를 이끄는 주된 이론적인 문제는 직관과 도식의 관계에 대한 것이다. 예를 들어보자.

두 개의 상자가 있다. 한 상자에는 흰 구슬2개와 검은 구설 4개가 들어있고 다른 상자에는 흰 구슬 1개와 검은 구설 2개가 들어있다. 문제는 어떤 흰 공을 꺼낼 확률이 더 높은 상자를 결정하는 것이다.  6살의 아이들은 보통 첫 번째 상자에서 흰 공을 꺼낼 확률이 더 높다고 단언한다. 7살의 어린이들은 보통 두 확률이 동일하다고 정답을 말한다.

이런 반응은 어떤 정신적 도식을 표현하는 것이다. 즉 더 어린 아이들은 흰 구슬의 양 사이의 비교에 기초하여 답을 하는 반면, 고학년의 아이들은 비율의 도식에 기초하여 대답을 한다. 이러한 두 가지 대답은 주저 없이 바로 제시된다. 그것들은 두 문제에 대해 명확해진다. 비록 아이들 수의 비교를 통해 명백하게 그들의 의사를 결정하고 확률을 정당화시키기는 하지만 수의 비교는 당연하게 이루어진다. 이렇게  결론에 대한 주관적 명백성은 아이들에게 직관의 특징을 부여한다. Piaget와 Szeminskya의 실험에 기초한 두 번째 예를 보자.

동일한 모양과 부피를 같은 두 개의 유리잔 [eqn: A_1,{}A_2] 가 있다. 이 두 잔은 같은 개수의 진주를 담고 있다. 네 살짜리 아이들을 대상으로 하는 이 실험에서 아동 자신이 유리잔에 직접 진주를 넣도록 하기 때문에 그들은 양이 동일함을 알고 있다. 왼손으로는 진주를 [eqn: A_1]에 넣고 오른손으로는 [eqn: A_2]에 넣는다. 아동은 동일한 방법으로 유리잔이 찰 때까지 반복한다. 그리고 나서 [eqn: A_1]은 그대로 두고, 실험자가 [eqn: A_2]에 있는 것을 유리잔 [eqn: B]에 붓는다. [eqn: B]가 [eqn: A_1]과 [eqn: A_2]에 비해 더 좁고 높다고 해보자. 아동은 [eqn: B]에 더 이상의 진주가 더해지지 않았음을 알고 있는데도 불구하고, [eqn: A_1]보다 [eqn: B]에 더 많은 개수의 진주가 있다는 결론을 내린다.

이러한 사실로부터 Piaget는 전조작기의 아동에게 있어서 양의 비보존성이라는 것을 이끌어 냈다. 이 나이에서 아동의 관심은 단순히 일차원적인(one-dimension) 것에만 집중되어 있다고 설명했다. 동일한 질문이 6살의 아동에게 제시되었을 때, 그 반응은 매우 다르다.  Piaget에 의하면 『…그는 reflection 반성을 필요로 하지 않는다.』『그는 그러한 질문이 주어진다는 자체에 놀란다.』고 한다. 이 경우 아동은 모양의 변화에도 불구하고 양의 보존성에 대한 확신을 가지고 있는 것이다. 그는 너비와 높이라는 두가지 차원(one-dimension) 을 모두 고려하고 있는 것이다.

실제로, 양쪽 아동들 모두 직관적으로 대답한 것이다. 그들의 직관은 그들의 나이와 관련하여, 서로 다른 도식과 다른 이해의 과정을 표현하고 있기 때문에 그들의 반응은 매우 다르다. 더 어린 아동에게는 한 차원에 의해 특징지어지는 전체적 윤곽이 결정적인 요소인 반면 6살의 아동에게서는 보충과 가역성의 도식이 그런 직관적인 대답을 결정짓게 된다. 위에서 언급된 바와 같이 그렇다면 질문은 『직관과 도식의 관계는 무엇인가? 직관은 항상 지적 도식이 무의식적으로 행해진 결과인가?』 우리는 어떤 순수한 직관도 존재하지 않음을 가정한다. 직관은 항상 어떤 지적 도식에 의해 내부에서부터 형성되고 조작되는 것이다.

1. 직관과 도식

어림짐작(random guess)과 직관적 추측(intuitive guess)-추정, 해석, 예측- 사이의 구분으로부터 시작해보자. 동전을 던져서 어떤 면이 나올지 추측하는 상황을 생각해 보자. 예를 들면 결과가 앞면(H)이라고 주장할 수 있다. 이것은 어림짐작이다. 결과가 어떻게 나올지에 대한 정보가 전혀 없다. 이번에는 동전을 세 번 던져서 HHH라는 결과를 얻었다. 네 번째의 결과에 대한 추측은 뒷면이 될 수 있다(T). 이번에는  추측이 어떤 정보에 기초해 있다. 이것은 직관적 추측이다. 이 추측은 확률 등식 [eqn: P(H)=P(T)] 에 기초하여 적절히 설명이 될 수 있다.( 두가지 가능한 결과에 대한 균형의 필요) 직관은 단순한 추측이 아니다. 그것을 어림짐작과 구분되게 하는 것은 전자는 암묵적으로 초기적 정보와 정신적 조작에 기반하고 있다는 것이다. 직관은 일반적으로 행동적, 적응적, 예언적 기능을 갖고 있다. 그러나(F 1987) 직관적 추측의 주된 특성(추정, 예측 등)은 직접적이고 포괄적인 특성에 있다. 이 글에서는 직관적 지식이라는 용어는 명백한 계산에 기초한 설명과 대조되어 전체적, 직접적인 추정을 의미하는 것으로 쓰인다.

이 연구에 의해 제기되는 주된 심리적 문제는 『 정신적 조작(계산, 논리적 작용 등을 가리키는 넓은 의미의 용어) 이 , 주관적으로, 직접성과 포괄성을 획득하는 것은 어떤 작용(메카니즘)에 의해서인가?』하는 것이다. 의식적 수준에서 세부적 사항은 제거된다. 일련의 조작들은 암묵적으로 일어난다. 의식적 수준에서 얻게 되는 어떤 것이 최종 산물이며 명백하고 지속적인 해당, 결정, 표현, 형태 심리학자들이 일컫는ꡐ통찰ꡑ인가. 직관이 행동에 기원하며, 이전의 경험에 의존하며, 옳든 그르든 어떤 적응적 요구를 수행하는 경향이 있다. 결과적으로 직관은 결정에 기초하며 ꡐ추측ꡑ은 실제의 자료를 설명할 수 있어야 한다. 그들의 무의식적이고 무조건적인 메카니즘의 특성 때문에 직관을 연구하는 것은 방법적으로 매우 복잡하다.

기본적으로 적응적 과정은 Piaget의 이론에 따르면 도식의 구성과 조정을 통해 이루어진다. schema 라는 용어는 다양한 정의와 해석을 가지고 있다. 이 글에서 그것은 어떤 양의 정보를 해석하고 연관된 반응을 준비하고 통제하는 것을 목적으로 하는 프로그램으로 쓰인다.

이 문맥에 있어서ꡐprogramꡑ이라는 용어는 주어진 환경에 대해 적응하고 상대적으로 유연성을 가질 수 있는 일련의 단계들을 의미한다. 예를 들면 수들에 대해 순서를 바꾸어 만들어낼 수 있는 값을 구하도록 요구받았을 때 ,즉 다섯 개의 대상을 이용해 보자(예를 들면 문자 a,b,c,d,e) 그 반응으로 어떤 사람은 직관적으로 구하려고 할 것이고( 전체적 추측) 또 다른 사람은 -수를 계산하는(만들어내는) 도식- 어떤 절차를 이용하려고 할 것이다.  vergnnaud 는 최근에 도식의 개념에 대해 깊이 분석했다. 『도식은 최종적인 것이다. :목표는 예상을 내포하고 있으며 도식은 행동을 이끌어낸다.  : 그것은 규칙을 함유하고 있다. 도식은 고정 관념이 아니고, 일련의 행동으로써 상황의 변수에 의존한다.』

이 연구를 이끌어 가는 주된 가정은 직관이 도식에 기초한다는 것이다. 도식은 정신적 성숙의 수준과 충분한 량의 경험을 공동적으로 표현하는 일련의 과정과 해석에 대한 조직화된 시스템이다. 도식은 안정적이고 유연성이 있다. 그것은 사고하고, 해석하고, 해결하는 방법을 표현한다. 예를 들면 형식적 수학의 증명에 대한 개념은 정신적 도식이다. 왜냐하면 그것은 수학적으로 참인 진술이 현실에 직면하는 것에 의해서가 아니라 교육적으로 논리적 법칙을 직면함으로써 수립되는 원리를 표현하기 때문이다.

중요한 방법론적 문제는 다음과 같다. 우리의 주제는 조합적 문제에 대해, 풀이 절차를 적용하려고 노력하지 않고 각각의 가능성 있는 숫자를 직접 , 초보적으로 추정해보는 것이다. 따라서 주제의 반응에 대한 직관의 정도나 관련된 신념의 정도를 측정할 수 는 없다. 우리가 효율적으로 할 수 있는 것은 후행하는 인터뷰와, 정답과 초보적인 ꡐ임의적ꡑ인 답 사이의 정당화에 대해 비교를 해 보는 것이다.

다시 강조하지만, 우리의 관점으로 도식은 (일반적으로 말해지듯이) 기계적 프로그램으로 고려하는 것이 아니다. 많은 상황에서 그것들은 논리적으로 구조에 기초하고 있다. 이것은 조합론적 체계의 상황이다. : 조합론적 원리와 다양한 조합론적 절차는 논리적으로 자연스럽다.(천성에 부합한다.)  즉, 주제가 조합론적 문제를 푸는 어떤 과정을 제시할 때 아동은 , 보통, 마음 속에 논리적 기반을 갖고 있는 것이다. 이런 관점에서 우리의 견해에서 어떤 것이 인식론 상으로 중요한지에 대한 구분을 소개할 필요가 있다. 기본이 되고 구조적 역할을 하는 일반적 도식이 있고, 내용 영역에 충실한 구체적 도식이 있다.  첫 번째 범주인 구조적 도식에 대해서는 분류, 연속적, 일대일 대응, 측정과 단위의 개념, 숫자, 결정론적인 관계의 개념과 어림짐작의 개념, 비율의 개념, 확률, 조합론적 조작에 대한 상호 관련성,  형식적 증명과 실험적 증명의 개념의 비교 등이 이다. 두 번째 범주는 구체적 의미와 관련한 모든 개념(삼각형, 의자, 연필 등),모든 반사 작용, 모든 수학적 과학적 공식 등이 있는데 이것은 어떤 조작(작용)을 수행하거나 대상을 확인하는 전제조건을 표현한다. 이들은 구체적 도식이다. 어떤 사람은 도식이 일반적인 것에서 구체적인 내용 영역의 도식으로, 계층적으로 조직된다고 생각할 수도 있을 것이다.

인간의 지성의 오랜 진화 기간은  무엇보다도 새로운 구조적 도식(이전의 것들을 통합할 수 있는 새로운 것)의 구성에 의해 특징지어진다. 이런 새로운 도식은 개별적 단계의 주요한 특징을 구성한다. 교육적 목적으로 교사들은 특수한 예로부터 시작해 그 이후에 일반화시키는 일이 때때로 있다. 그러나 어떤 개념이나 조작에 대한 진정한 이해는 도식의 완전한  단계가 수립되고 학생들에 의해 정신적으로 통합될 때 이루어 질 수 있는 것이다. 예를 들면, 아동은 class의 도식과 class inclusion의 도식과, 순서, 일대일대응, 수의 보존 등에 대한 도식을 가지고 있을 때만 수에 대한 개념을 진정으로 이해했다고 할 수 있다.

위에서 언급했듯이, 이 연구를 고안함에 있어 우리의 주된 관심은 도식과 직관의 관계에 대한 것이다.

․ 직관은 늘 어떤 도식에 의존하는가?

․ 직관적 인지가 실제적으로 어떠한 도식에 대해 인지적으로 반대 위치에 있는 것인가?

․ 이 연구에 있어 기본적 가정은 실제로 직관적 판단이 일반적으로 전체적이고, 체계적이고, 잘 수립되어 있고, 통합되어 있는 일련의 구조에 의한 주관적 효과라는 것이다. 이러한 가정은 이전의 수많은 연구 결과에 기초한 것이다. 마지막 부분에서 다시 논하겠다.

2. 조합론적 직관

본 연구에서 외부적 관심은 조합론적 문제에 초점이 맞추어져 있다. 일상생활에서 우리는 개수, 좀더 자세히 말하자면, 요소로 이루어진 집합의 다양한 가능한 결합의 수의 크기 순서를 광범위하게  측정하게 된다. 가끔씩 그 측정은 명백하게 수행되기도 하고, 다른 경우에는 함축적인 추측이 이루어지기도 한다. k개의 숫자의 한자리 집합으로부터 n 개의 숫자를 가진 집합을 몇 개 만들 수 있는가? (예를 들면 차의 번호와 관련된 것이다.) 나라의 정치적 부분을 구려해 보면 [eqn: n_1] 또는 [eqn: n_2] 등으로 이루어진 정당을 만드는 방법은 몇 가지인가? 약과 관련된 상황을 만들어내는 것은 성분의 다양한 조합을 생각해 보는 것이 시도 될 수 있다.

본 연구에 있어 우리의 관심은 이론적인 것과 교수학적인 것 둘 다에 있다. 이론적 관심은 명백하다. 도식과 직관적 인지는 이론적으로 매우 중요하다. 두 가지 범주는 일반적인 안정성을 가지며, 잘 구조화되어 있고, 잘 통합되어 있으며, 고도로 영향력을 가지는 정신적 행동적 구조를 가지는데 그 구조는 해명되어야 할 상호 관련성이 있다. 이런 교육적 관점에서

조합론은 그 자체로 수학에서 중요한 부분을 차지하게 된다. 그리고 더 나아가 수학의 다양한 부분과의 관련성도 잘 알려져 있다.(확률론, 선형 프로그래밍, 게임이론, 위상수학, 정수론, 네트워크 해석 등) 또한 Piaget와 Inhelder(1958)에 따르면, 조합론적 가능성은 형식적 조작 단계동안 습득될 수 있는 기본적 도식중 하나를 구성한다는 데 있다. 형식적 추론의 제안적 특성은 미완의 조합론적 가능성에 기초하고 있다.

조합론적 직관과 그 근원에 대한 연구는 자료의 세 가지 기본적 범주에 대한 고려를 내포하고 있다. 대상에 대한 임의적 추론, 올바를 수학적 해결, 자신의 반응에 대한 후행 정당화가 그것이다.

이러한 자료의 범주를 비교함으로써 우리는 조합론적 직관과 일반적 직관의 메카니즘에 있어 암묵적인 면에서의 좀 더 많은 정보를 구체적으로 얻을 수 있을 것이다. 조합론을 고려하는 경우, 일반적 구조적 도식과 구체적 절차적 도식이 포함된 특수한 경우를 다루게 된다는 점을 강조하고자 한다.

지금까지 조합론적 직관은 구체적으로 분석되지 않았다. 이미 존재하는 연구들은 아동이 나이가 들어감에 따라 조합론적 능력이 진보한다는 것이나 조합론을 가르치고 배우는 기법에 관한 것이었다. 위에서 언급했듯이, 우리가 관심을 가지는 바는, 직관적인 조합론적 판단의 구조적 뿌리를 분석하는 데 있다. 조합론적 체계는 , Piaget의 관점으로 보면, 행동적 내포를 가진 조작적 도식이다. 그러나 ꡐ조합론적 체계ꡑ는 특별한 문제를 푸는 도식으로도 작용한다. 조합론적 직관의 판단은 어떻게 조합론적 추론의 두가지 수준과 관련되어 있는가?  도식이나 프로그램(연속적 접근)  환경에서,  직관적이고 전체적이고 명백한 통찰적 표현을 끌어낼 것인가?

3. 방법론

3.1 주제

학생들은 다음 그룹으로 나누어졌다.

(a) 7학년 63명/ 9학년 62명/ 11학년 62명

(b) 교육 관련 대학의 학생들 41명

(c) 다양한 수학적 배경 지식을 가진 어른 25명

성인들은  교양 수학 과목만 수강한 낮은 수학 교육 수준에 있는 사람들이었으며 어떤 대상도 형식적으로 조합론의 과정에 참여한 적이 없다.

3.2 도구

질문지는 다양한 조합론적 문제를 포함하도록 구성되었다. 순열, 조합과 비복원 추출 등. 그 주제들은 주어진 원소로 이루어진 집합에서 만들어질 수 있는 원소들의 가능한 그룹의 가지 수를 어떤 절차에 따라 전체적으로 추정하도록 요구하고 있다. 피실험자들이 답을 쓰고 나면, 스스로 그들의 답을 설명하도록 하는 인터뷰를 했다. 25명의 피실험자들이 인터뷰를 했다.

3.3 절차

이 session(질문지 시행)은 조합론적 조작과 관련한 일반적 설명으로부터 시작한다.  실험자는 PEACE라는 단어를 제시하고 학생들에게 이 문자들을 모두 이용하여 다양한 단어를 만들어보도록 요구한다. 이러한 도입에 따른 질문지는 시행되고 피험자는 각각의 조합론적 문제와 관련하여 숫자를 추정하도록 요구받는다. 그들은 단지 그 답을 계산하는 것이 아니라 추정하도록 해야 한다. 질문지는 보통의 교실상황에서 시행된다. 피험자는 45분 동안 질문지를 완성해야 한다. 그들의 판단을 정당화하도록 피험자에게 행해지는 인터뷰는 질문지를 시행하고 며칠 후에 시행한다.

4. 결과

모든 질문은 그 경우별로 각각 아래에 그대로 제시되어 있다.

4.1 순열

질문은 다음과 같이 제시된다.

다음의 질문은 각 요소들의 순서를 바꿈으로써 가능한 배열의 숫자에 대한 것이다. 예를 들면 AB 와 BA 같은 것이다. 각 요소는 순열당 딱 한번씩 사용되어야 한다.

1. 주어진 요소 A, B, C 가 있다. 그것들의 순서를 바꾸어서 배열할 수 있는 가지 수는 몇     가지인가?

2. 주어진 요소 A, B, C, D 가 있다. 그것들의 순서를 바꾸어서 배열할 수 있는 가지 수는     몇 가지인가?

3. 주어진 요소 A, B, C, D, E 가 있다. 그것들의 순서를 바꾸어서 배열할 수 있는 가지 수     는 몇 가지인가?

추정에 대한 평균과 표준편차가 각 피험자의 그룹별로 제시되어 있다.(표1)

(표1)은, 3가지 원소에 대해 가능한 순열의 개수의 추정치가 7학년에서 11학년으로 올라가면서 일반적으로  증가함을 알 수 있다. 그러나 대학 학생들과 어른들 사이에서는 그 추정치의 평균이 감소하게 되지만 전체적으로 정답 근처에 머물러 있음을 알 수 있다.

([eqn: P_{ 3 } =1 CDOT 2 CDOT 3=6])

4개의 원소와 5개의 원소에 대해서는 뚜렷한 연령 관련 규칙 없이 순열의 수에 대해 심하게 오차가 있었음을 알 수 있다. 5개의 원소를 다루는 경우는 4개의 원소를 다루는 경우보다 큰 오차를 보인다.

인터뷰는 근원적인 직관적 대답의 메카니즘을 잘 이해할 수 있게 해준다.

․ 3개의 원소에 대한 순열에 관해서는 다음의 설명이 제시된다. 피험자 중의 몇 명은 9학년    부터 시작해서 단순히 기술적으로 6개의 순열을 나열했다. (abc,acb,bac, 등)

․ 3과 2의 곱은 모든 그룹의 설명에서 발견되고 있다. ꡐ하나는 고정되어 있고 다른 두개는    자리를 바꾼다.ꡑ

․ 모든 그룹에서 많은 피험자들이 6은 [eqn: 2 TIMES 3]이라고 주장했다. 이런 피험자들은 먼저 ꡐ6ꡑ    을 추측한 후에 그들의 대답에 대한 정당화를 찾으려고 노력한 것이다.

4개의 원소의 순열에 관해서는 다음의 정당화가 확인되었다.

․ꡐ나는 단순히 추측했다.ꡑ

․ꡐ4×4이다. 즉 4개의 원소 각각이 네 개의 자리에 각각 나타날 수 있기 때문이다.ꡑ

․ꡐ[eqn: 4^{ 2 }]이다.(동일한 이유로.)ꡑ

․ꡐ3×4이다. 왜냐하면 네 가지 원소가 있는데 하나는 고정되어 있고 다른 세 개는 자리를     바꿀 수 있기 때문이다.ꡑ

․ꡐ[eqn: 2^{ 4 }] 이다. 왜냐하면 각각의 쌍에 있어서 그 두 원소는 각자 자리를 바꿀 수 있고, 모두 네    가지의 원소가 있기 때문이다.ꡑ

5개의 원소에 관해서는 다음의 정당화가 있었다.

․ꡐ5×5이다. 왜냐하면 5개의 원소는 5개의 다른 자리에 나타날 수 있기 때문이다.ꡑ

․ꡐ[eqn: 2^{ 5 }] 이다. 왜냐하면 각각의 두개의 원소는 그들의 자리를 바꿀 수 있기 때문이다.ꡑ

․ꡐ4․5 이다. 왜냐하면 하나의 원소가 고정되어 있고 나머지는 그들의 자리를 바꿀 수 있기    때문이다.ꡑ

․ꡐ단순한 추측이다.ꡑ

어떤 피험자도 [eqn: P=n!] 이라는 공식에 이르지는 못했다. 이러한 정당화는 이항 연산과 곱셈 또는 지수적 풀이와 관련된 것이다. 몇 개의 예외는 있었지만, 직관적 추정은 실제로 특정한 지적 도식을 표현했다. 구체적 절차는 일반적으로 적절히, 결과적으로([eqn: P_{ 3 }]는 예외) 오답으로 표현되는 추측이다. [eqn: P_{ 3 }]에 대해서는 몇 개의 정답이 제시되었다는 사실은 단지 다음의 일치의 결과이다. [eqn: P_{ 3 }]=1×2×3=6 이며 이항 곱셈 2×3과 일치한다.

따라서 우리는 다음을 가정할 수 있다. 우선, 피험자의 답은 일반적인 조합론적 능력에서 그들의 근원을 갖고 있다. 즉 조합론적 조작적 도식을 갖고 있다. 둘째로 피험자의 답은 보통 어떤 구체적 조작의 산물이다. 그것은 항상 곱셈에 관한 것이다.(곱셈이나 지수의 조작) 세 번째로 이 조작은 이항연산이다.(4개와 5개의 원소에 관한 순열의 경우 특별히 그러하며 그것은 오차로 이끈다.) 즉 우리는 추측의 과정에 있어서 피험자는 맹목적 계산을 최소한으로 줄이려는 경향이 있다는 것을 가정할 수 있다.

4.2 교환과 관련한 배열

복원을 허락하여 n 개 중에서 k 개를 골라내는 경우를 생각해보자. 그 공식은 [eqn: A_{ k } ^{ n }][eqn: =n^{ k }]이다. 다음의 질문은 많은 요소들로 이루어진 큰 그룹에서 몇 개의 요소들을 가진 그룹을 선택하는 문제에 관한 것이다. 각각의 요소들은 한번 이상씩 사용될 수도 있다.(복원될 수 있는 선택) 예를 들면  ABC로 이루어진 집합에서 BB, AB, AA 등을 골라낼 수 있다. 요소들의 순서는 고려되어야 한다. 즉 배열 AB와 BA는 서로 다른 것으로 고려된다. [eqn: `^{ `_{ } }]

1. 주어진 세 원소 A, B, C가 있다. 3개의 요소로 이루어진 주어진 집합에서 두개의 요소로     만들 수 있는 서로 다른 집합은 모두 몇 개인가?

2. 주어진 4개의 원소 A, B, C, D 가 있다. 4개의 원소로 이루어진 주어진 집합에서 두개     의 요소로 만들 수 있는 서로 다른 집합은 모두 몇 개인가?

3. 주어진 5개의 원소 A, B, C, D, E 가 있다. 5개의 원소로 이루어진 주어진 집합에서 두     개의 요소로 만들 수 있는 서로 다른 집합은 모두 몇 개인가?

결과는 표 2에 나타나 있다.

추정의 다양함으로 인해 규칙을 찾는 것은 어려운 일이다. 그러나 학교 수준에 있어서는 예외적으로 이 추정에 있어 나이가 많음에 따라 증가하는 눈에 띄는 추세를 보인다. 실제로 흥미로운 것은 전체적 평균이 정답에 매우 가깝다는 점이다. (특히 3개와 4개의 원소의 집합에 대해서는) 즉, 다시 말하면 추정에 있어 상대적으로 많은 변수에도 불구하고(표준편차 역시 높은 편이다.) 평균은 정답으로 수렴해가고 있다는 점이다. 피험자들이 직관적으로 배열의 가지 수를 추정할 때 마치 어떤 기본, 암묵적 메커니즘이 작용하고 있는 것같이 보인다. 방해요인이 작용하기는 하지만 이러한 경향은 그것의 영향력을 상호적으로 상쇄한다.

추정에 대한 피험자들의 설명을 살펴보자. 가장 빈번하게 나온 설명은 다음과 같다.

원소 3개의 집합에서 2개를 뽑는 경우 피험자들은 다양한 곱셈의 이항연산으로 숫자 2와 3을 이용한다.

․ 2․3, [eqn: 2^{ 3 }], [eqn: 3^{ 2 }]

4개와 5개의 원소로 이루어진 집합에서 두개를 고르는 경우에는 다시 피험자들은 곱셈과 관련한 이항연산을 사용하고 있다.

․ [eqn: 2^{ 4 }], [eqn: 4^{ 2 }], [eqn: 2 TIMES 4]

․ [eqn: 2^{ 5 }], [eqn: 5^{ 2 }], [eqn: 2 TIMES 5]

복원을 허락하는 배열에서의 정답은 위에서 언급했듯이 [eqn: A_{ k } ^{ n }][eqn: =n^{ k }]이다.  그리고 결과적으로[eqn: A_{ 2 } ^{ 3 }][eqn: =3^{ 2 }], [eqn: A_{ 2 } ^{ 4 }][eqn: =4^{ 2 }], [eqn: A_{ 2 } ^{ 5 }][eqn: =5^{ 2 }]이다. 피험자에 의해 사용된 다양한 이항 연산(올바른 연산 역시 포함하여) 정답으로부터 끌어낼 수 없는 많은 결과들로 이끈다. 다시 말해서 순열의 경우처럼 피험자의 대답은 도식 의존적이다. 그러나 순열의 경우와 달리 여기서는 큰 오차는 발생하지 않는다. 그것은 이항 곱셈 연산이 실제적으로 정답을 풀기 위해 요구되는 과정이기 때문이다.

4.3 복원 없는 배열

문제는 주어진 n 개의 원소로부터 k 개를 선택할 수 있는 개수이다. 여기서 어떤 원소도 한번 이상 선택 될 수 없으며 원소의 순서도 고려되어야 한다. 공식은 다음과 같다.

[eqn: A_{ k } ^{ n }] (비복원 배열) = [eqn: n(n-1) CDOT (n-2) CDOT CDOT CDOT (n-k+1)= { n! } over { (n-k)! }]

질문은 다음과 같이 주어진다.

다음 질문은 어떤 집합으로부터 원소들을 선택하여 만든 집합에 관한 것이다. 모든 원소는 한번씩만 선택될 수 있고 원소의 순서는 고려되어야 한다. 예를 들면 집합 AB와 BA는 다르다.

1. 주어진 세 원소 A, B, C 가 있다. 원소의 배열 순서를 고려했을 때 두개의 다른 원소를     선택할 수 있는 것은 모두 몇 가지인가?

2. 주어진 세 원소 A, B, C, D 가 있다. 원소의 배열 순서를 고려했을 때 두개의 다른 원소     를 선택할 수 있는 것은 모두 몇 가지인가?

3. 주어진 세 원소 A, B, C, D, E 가 있다. 원소의 배열 순서를 고려했을 때 두개의 다른      원소를 선택할 수 있는 것은 모두 몇 가지인가?

표 3은 나이별 그룹과 원소의 개수에 따른 추정량에 대한 평균과 표준 편차를 나타낸다. 확인할 수 있는 유일한 패턴은 거의 모든 연령 수준에서 선택의 가지 수를 과대 추정하는 경향이 일반적으로 있다는 것이다. 각각의 과대 추정은 - 전체 평균을 고려해 봤을 때 - 비교적 일정하다. 즉 정답에 비해 약 20% 정도 높게 추정하고 있다. 다시 말하면, 이것은 어떤 암묵적 메카니즘이 이러한 추측을 일으키게 한다는 것을 의미한다. 이제 인터뷰를 통해 얻어낼 수 있었던 것에 대해 생각해 보자.

4.3.1 세 가지 원소들

몇몇의 피험자는 세 개의 가능한 쌍을 만들고 이것에 2를 곱함으로써 그들의 답변에 대해 설명했다. 그리고 이것은 정답을 이끌어낸다. 많은 피험자들은 전 연령 수준에 걸쳐 다음 중 하나를 시도하려고 했다.

․ 2․3, [eqn: 2^{ 3 }], [eqn: 3^{ 2 }]

그리고 이것들은 아마도 최종적인 과대 추정으로 이끌었을 것이다. (정답은 3․2=6 이다.)

4.3.2 네 개의 원소

다시 말하지만, 몇몇의 피험자는 선택에 대한 체계적인 방법을 가지고 있다. 많은 피험자들은 이항 곱셈 연산을 이용한다.

․ [eqn: 2^{ 4 }], [eqn: 2^{ 5 }], 2×5

이것은 다시 정답인 5×4=20에 비해 과대 추정으로 이끈다.

요약하자면 일반적인 패턴은 다음과 같이 발견된다.

1. 순열에 대한 과소 추정 (이것은 n! 대신 이항연산을 사용하기 때문이다.)

2. 복원 배열에 대한 직관적 풀이는 올바른 결과에 가깝다. - 이것은 이항 연산이 올바른      결과에 매우 가까운 답으로 이끌기 때문이다.

3. 비복원 배열에 대한 과대 추정 - 대부분의 이항 연산은 올바른 답을 초과하게 된다.

피험자는 복원 배열의 경우와 마찬가지로 지수적 계산을 계속하여 사용하게 되지만, 이번의 경우에는 그것이 적절히 적용되지 않는다.

예를 들면 다섯 개의 원소에서 두개를 골라 배열하는 경우는 5×4=20 이다. 그러나 피험자는 지수적 계산을 계속 사용하여 [eqn: 5^{ 2 }], [eqn: 2^{ 5 }] 이나 2×5를 언급하게 된다. 이러한 과정은 평균에 비해 약 20% 정도 과대 추정된 값을 산출해 낸다.

5. 조합

조합 문제에 대해서는 다음과 같은 표준적 질문이 제시된다.

주어진 n 개 원소에 대해서 반복은 허락되지 않으며 순서는 고려하지 않는다면 k 개의 원소로 이루어진 집합이 얼마나 많이 생길 수 있는가?

[eqn: C_{ k } ^{ n } = { n(n-1)(n-2) CDOT CDOT CDOT (n-k+1) } over { 1 CDOT 2 CDOT 3 CDOT CDOT CDOT k } = { n! } over { k!(n-k)! }]

조합 문제에 관한 정확한 용어는 다음과 같다.

다음의 질문들은 어떤 집합으로부터 선택한 원소들의 집합을 다루는 문제이다. 예를 들면 집합 AB와 집합 BA는 다른 것으로 간주되지 않는다. 즉, 원소의 순서는 고려되지 않는다.

1. 주어진 세 원소 A, B, C 가 있다. 주어진 집합으로부터 두개의 원소를 선택하여 만들 수     있는 집합은 몇 개인가?

2. 주어진 세 원소 A, B, C, D 가 있다. 주어진 집합으로부터 두개의 원소를 선택하여 만들     수 있는 집합은 몇 개인가?

3. 주어진 세 원소 A, B, C, D, E 가 있다. 주어진 집합으로부터 두개의 원소를 선택하여      만들 수 있는 집합은 몇 개인가?

나이별, 원소의 개수별로 분류된 추정치의 평균이 표 4에 제시되어 있다.

표 4를 살펴보면, 조합에 있어 즉각적으로 눈에 띄는 것이 있다. 피험자들이 비복원 배열의 경우(약 20% 과대 추정)보다 더욱 많이(약 50% 과대 추정) 과대 추정을 한다는 것이다.

이것이 피험자들이 단순히 배열에서 했던 것과 동일한 수를 반복해서 만들어내었다는 것을 의미하는 것은 아니다. 실제로 평균적으로 보면 조합의 추정치는 비복원 배열에 비해 전체적으로 적은 값을 얻게 된다. 이것은 [eqn: A_{ 2 } ^{ n } =2C_{ 2 } ^{ n }] 이기 때문이다.

위의 자료로부터 다음과 같은 가정을 할 수도 있을 것이다. : 피험자의 추측은 단순히 어림짐작으로 축소될 수 있는 것은 아니다.

이런 직관은 암묵적으로 어떤 논리적 패턴에 의해 영향을 받는다. 한편으로는 n 개의 원소에서 2개를 선택하는 조합을 고려하면서 비복원 배열에 의해 얻어진 숫자보다 작은 숫자를 얻게 된다. (수학적으로 각 수는 2로 나누어진다.)  다른 한편으로 이항 연산을 사용함으로써(즉 탁월한 지수조작) 이항 곱셈에 의해 얻는 값보다 큰 값을 얻어내게 된다. 이러한 영향의 상호작용은 동시에 두가지 효과를 얻는다.

(a) 조합에 의한 수와 비복원 배열에 관련된 수를 비교함으로써 알 수 있는 올바른 작용

(b) 추정된 조합의 수를 정답과 비교함으로써 알 수 있는 왜곡된 작용 (강항 과잉 추정)

이러한 발견들은 동일한 기본적 해석을 뒷받침해주고 있다. 직관적 추정은 단순히 어림짐작으로 축소될 수 없다는 것이다. 그것은 내용 영역의 패턴의 수에 의해 구조가 정해져 있고  그 기원은 기본적 도식과 관계되어 있다. 피험자들의 설명이 전체적으로 일치한다는 점(인터뷰를 거친 사람들의 것)을 강조하고자 한다.

표2,3,4를 비교해보면 복원 배열에 의해 얻어진 추정, 비복원 추출에 의한 추정, 조합에 의한 추정의 평균치 간의 관계가 근사적으로 각각의 정답간의 관계를 반영하고 있음을 알 수 있다.

n 개의 원소에서 2개를 골라내어 만드는 여러 가지 배열을 생각해 보자. 이것은

복원 배열에 의하면 [eqn: n^{ 2 } =n TIMES n] 이다.

비 복원 배열에 의하면 [eqn: n(n-1)]이 되고

조합에 의하면 [eqn: { n(n-1) } over { 2 }] 가 된다.

여기서 [eqn: n TIMES n] > [eqn: n(n-1)] > [eqn: { n(n-1) } over { 2 }] (모든 [eqn: n>0] 에 대하여) 이것은 또한 조합론적 문제의 세 가지 유형에 대한 피험자의 직관적 판단의 중대성을 나타내는 순서이기도 한다. 이것은 재미있는 결론을 낳는다. 즉 피험자가 추정한 평균의 크기와도 일치하는 것이다. (각각의 특정한 추측이 정답으로부터 유도 된다고 해도 일반적으로 피험자는 그 공식이 사용된다는 것을 인지하지 못한다.)

조합론적 문제에 대해 추측된 방법은 항상 곱셈적인 것이었다. 그것은 조합론적 문제가 결합(곱셈 연산적 도식) 과 관련되어 있기 때문이다. 두 번째로 조합론적 문제에 있어 추측된 해답은 이항 연산이 고려되는 경향이 있다. 세 번째로  추측된 해답과 여러가지 유형의 조합론적 문제는 정답 간의 올바른 수학적 관계에 의해 전적으로 영향을 받는다.

6. 토론과 결론

이 연구에서 주된 문제는  도식과 직관에 관한 것이다. 정신적 행동 구조에 있어 이 두 가지 범주는 공통적 성질을 가지고 있다. 개체 발생적 안정성, 적응할 수 있는 유연성, 내적 일치성, 강제성과 일반성. 기본적 차이점은 도식이 해석과 반응의 절차를 유도하는 프로그램인 반면(그리고 전제 조건) 직관은 전체적 인지 태도를 표현한다. 이 두가 지 범주의 관계는 무엇인가?

한가지 가정은 직관(포괄적이고, 명백하게 직접적인 인지)이 도식 의존적이라는 것이다. 즉 직관은 어떤 무의식적 규칙과 평가에 기초하고 있다. 이 연구의 목적은 특별히 조합론적 체계를 언급함으로써 도식과 직관의 관계에 관련하여 더 많은 정보를 얻는 것이다. 조합론적 프로그램은 시행착오나 계산에 의존함으로써 해결될 수 있다. (이용 가능한 어떤 공식에 따르기도 한다.) 두 경우 모두에 있어 일련의 과정은 어떤 프로그램에 따라 수행 된다. 조합론적 추측은 후행하는 인터뷰와 수학적 풀이와 비교함으로써 더 낫고 자세하게 메카니즘의 이해를 포괄할 수 있을 것이다. 우리는 여러 가지 종류의 조합론적 문제 (순열,복원 배열과 비복원 배열, 조합) 와 관련하여 직관적인, 상대적으로 임의적인 피험자(7,9,11학년과 대학생 그리고 성인)의 추정을 확인했다. 직관적인 추정은 올바른 수학적 해답 뿐만 아니라 피험자에 의한 후행 설명과 비교되었다.

일반적으로 직관적 추측은 조합론적 도식과 관련하여 암묵적인 계산을 표현한다는 것이 알려졌다. 이 추측은 ꡐ맹목적인ꡑ것이 아니다. 이것은 다음의 발견에 의해 증명 될 수 있다.

1. 추정치는, 어떤 방법으로,  선택하게 되는 원소의 개수 및 주어진 원소의 개수와 관련되     어 있다.

2. 인터뷰에서 언급된 계산은 일반적으로 이항 곱셈 연산으로 축소된다. 이런 곱셈(덧셈이     아닌) 연산은 조합론적 조작의 참된 곱셈적 성질의 영향을 반영한다.

3. 피험자가 항상 이항 연산을 사용한다는 사실은( factorial 이 사용되어야 하는 순열의 경     우에 있어서도) 직관에 있어 도식의 중요한 영향의 측면을 보여준다. 즉 도식이 압축되     어 직관이 된다.  도식이 최소한의 구조로 축소됨으로써 직관이 된다는 것이다. 요약하     자면, 직관은 전체적이고 직접적이며 명백하게 자기 일치적 관점이며 반면  도식은 프로     그램이고 일련의 구조이다.  직관적인 이해를 얻기 위해 도식은 최소한의 간결한 원리로     축소된다.

압축의 과정은 모든 종류의 추론에 있어 중요한 요소이다. 예를 들면 수학적 조작은 기호로 정의로 압축된다. ([eqn: n TIMES n TIMES n CDOT CDOT CDOT =n^{ k } ```;```1 CDOT 2 CDOT 3 CDOT 4 CDOT CDOT k=n!`] 등)  Thurston이 쓴 바에 따라 ꡐ수학은 놀랍게 압축될 수 있다. 오랜 기간동안 단계적으로, 몇 가지의 접근으로부터 어떤 과정이나 아이디어를 통해 연구하는 것에 고군분투 할지도 모른다. 그러나 정말 이해하기만 하면, 그리고 전체적으로 그것을 보는 내적 관점을 갖기만 하면 대단한 정신적 압축이 일어날 것이다.ꡑHadamard(1965)는 다른 문맥에서 동일한 아이디어를 언급했다.ꡐ어떤 수학적 논쟁은  그것이 아무리 복잡한 것일지라도  나에게는 유일한 것으로 보인다. 나는 내가 하나의 전체적 아이디어 안에서 이해하는데 성공하기 전까지 그것을 이해하고 있다고 느끼지 않는다.ꡑ

압축의 현상은 직관의 메카니즘에 있어 기본적 역할을 담당하는 것처럼 보인다. 압축은 필연적으로 직관을 유도하는 것은 아니다. 우리는 이미 기호와 정의, 새로운 용어 등을 언급했다. 그러나 우리는 만일 구조적 도식이 이런 인지 하에 놓여 있다면 압축이  명확하게 직관적 인지로 이끈다는 것을 가정한다.

이 연구에 있어서 피험자는 그들의 후행 설명에서 주어진 숫자를 가지고 동일한 유형의 이항 연산을 끊임없이 언급하고 있다. 주어진 n 개의 원소에서 어떤 규칙에 따라 n 개의 주어진 원소들을 이용해 2개 원소짜리 부분집합을 만들 수 있는 가지 수와 가능한 순열의 수를 추정하는 방법에 대해 질문을 받았을 때, 피험자들은 다음의 이항 곱셈 연상중 하나를 언급했다.

․ [eqn: n^{ 2 } ,`n(n-1),`2^{ n } ,`n TIMES 2]

종종 이런 이항 연산은 올바른 답으로 이끌어주지는 못한다. 그러나 추정치의 평균에 대한 분석은 다음에 나타날 그것들의 대소 관계나 정답간의 관계를 보여준다. 즉 추정치를 고려하는 것은

․ [eqn: ePn>eA_{ 2 } ^{ n } ``]복원 [eqn: >eA_{ 2 } ^{ n }] 비복원 [eqn: >eC_{ 2 } ^{ n }] 와 같다.

다시 말하면 직관적 추측은 한편으로 암묵적으로 어떤 이항 곱셈 연산에 기반하고 있으며(이것은 보통 올바른 공식과 관련되어 있지 않다.) 다른 한편으로는 정답에 의해 어떤 방법으로 영향을 받는다.

피험자는 암묵적으로 [eqn: A_{ 2 } ^{ n }] 복원이 [eqn: C_{ 2 } ^{ n }] 의 두배인 [eqn: A_{ 2 } ^{ n }] 비복원보다 크다는 사실을 고려하고 있다는 것이 가정되어 있을 지도 모른다. 그런 논리적 고려는 암묵적이며, 그렇지만 그것은 피험자의 판단에 영향을 준다.

두가지 갈래의 관련된 연구를 고려해 보자.  하나는 아동들이 균형 크기 문제의 해결 시도에 있어  어떤 암묵적 규칙(연속적으로 무게, 거리, 그리고 두 가지 종류의 양에 의존하는)에 의거한 직관적 해결책에 기초하고 있다는 것을 발견한 Siegler(1979)의 것이다. 또 다른 예는 Wilkening 와 Anderson 에 의해 조사된 연구에 따른 것이다. 그들은 아동들에게 직사각형의 면적을 측정하도록 요구하였다. 그들은 5살 짜리 아동들은 덧셈 규칙을 사용하고 성인들은 일관적으로 곱셈규칙을 사용하는 반면 8살에서 11살 아동들은 이 두가지 중의 하나를 사용한다는 것을 발견하였다. 이런 규칙은 실제로 도식이다. 그것들은 단순한 일률적 행동이 아니다. 그것은 동시에 정신적 성숙과, 현실에 관련된  활동적 실험에 의존한다는 암묵적 이론을 표현하고 있다.

일반적으로 말해서 직관은 훈련의 수준과 성숙의 수준을 표현하는 어떤 구조적 규칙에 기초하고 있는 것으로써 생각될 수도 있다. 만일 목표가 직관에 순조롭게 영향을 끼친다면 (그리고 이것은 배우는 과정의 중요한 임무이다.) 구조적 도식과 개개의 직관에 놓여진 구체적인 것을 동일시해야 한다.  학습자가 직관적으로 추측할 수 있도록 용기를 북돋우면서 도전적인 상황을 만들어낼 수 있다. 이것을 달성하는 또 다른 방법은 학생들이 개인적 추측과 수학적으로 받아들여진 해답 사이에서 상충하는 상황을 만들어냄으로써 가능하다. 동시에 이러한 절차는 답을 만들어내는 메커니즘의 이해에 공헌할 수도 있다. 우리의 발견 결과는 직관과 의미와 무엇보다도 도식을 훈련하는 것을 내포한다. 그러나 도식은 반응적 단계의 단순한 열을 넘어서서 더 많은 것을 표현한다.  그것들은 복잡하고 계층적인 조직화를 내포하면 이것은 단순히 정보의 논리적 기억으로는 발달될 수 없다.  여기서의 학습절차는 구조적 능력을 표현하는 정신적 태도를 취급한다. 교수적 과정은 주로 그런 전체적 인지 행동 구조의 발달과 관련되어 있어야 한다.

※ intuition and schemata in mathematical reasoning 에서...

◁ 직관

직관적 지식에 대한 공인된 정의는 없다. ꡐ직관ꡑ이라는 용어는 점,선, 집합 등과 같이 수학적인  primitive 한 용어이다. 직관의 의미는 은연중에 자기 증거적인 성질의 것으로 논리적 분석 노력에 반대되는 것으로 받아들여진다. 수학이나 물리를 가르칠 때 있어서 당신에게는 (긴 대학 공부를 마친 후) 이미 명확하게 다가오는 것들이 학생들의 이해에 있어서는 기본적으로 인지적 장애가 되어 나타나는 것을 발견할 수 있다.  교사로서 학생들이 실제로 개개의 지식을 진정으로 이해하고 암기하는 것이 아니라는 것(배운 것을 암기할 준비가 되어 있다고 해도)을 느끼게 된다.

수학에서 정사각형이 평행사변형이라는 것은 많은 아동들에게 직관적으로 이상하게 느껴진다. 두 수를 곱해서 각각의 수들 중 하나 또는 두수 보다 작은 수를 얻게 되는 경우도 받아들이기 어려워한다. 공집합은 완전히 터무니없는 생각이 된다. 정사각형에 들어있는 점의 양과 정육면체 안에 들어있는 점의 양이 동일하다는 것 역시 반 직관적 상황이다.

직관과 논리적 지식을 다음과 같이 생각해 볼 수 있다.

(a) 주스가 1리터당 5shekel 이다. 3리터는 얼마일까?

(b) 주스가 1리터당 5shekel 이다. 0.75리터는 얼마일까?

이 경우 (a)에 대해서는 쉽게 답하지만 (b) 에 대해서는 5/0.75로 생각하는 경우가 있다. 아예 답을 하지 못하는 경우도 있다. 이런 경우는 정답이 직접적으로 나오는 것이 아니다. 실제로 이 두 문제는 수학적으로 동일한 구조를 갖는다. 단위당 가격과 단위의 수이다. 두 문제 모두 곱셈 연산으로 해결될 수 있다.(a)의 경우에는 주저 없이 정답이 바로 제시되지만 (b)에서는 논리적 반영을 할 필요가 있다. (a)의 정답은 직관적으로 이루어진 반면(b)에 대한 옳은 반응은 논리적인 노력에 의해 간접적으로 얻어지는 것이라고 볼 수 있다. (b)에서는 직관적 반응이 5/0.75로 유도함으로써 정답인 5×0.75에 모순이 된다. 이것은 곱셈은 더 크게 만드는 것이고 나눗셈은 더 작게 만드는 것이라는 직관적 경향에 의한 것이다.

다음의 예도 동일하다.

두 직선이 만나서 두 쌍의 각을 만든다. 여기서 직관적으로 마주보는 각 와 는 같다 이러한 각의 동일성은 자기 증언적인 것이다. 이것을 일반화하면 일반적으로 그런 쌍의 각읜 같다고 말한다. 즉 그 답은 ꡐ두 각이 동일함을 알겠다.ꡑ라는 특별한 인지로 표현되지 않고 일반적 진술로 표현된다. 그러나 최근, 직선이 교차하여 만들어지는 마주보는 두각이 같다는 직관적 인지는  절대적인 것이 아니라는 연구가 있었다. 한 쪽을 길게 할 경우 긴 쪽 각이 더 크다고 답한다는 것이다. 직관은 절대적이지 않고 문맥(현재 상황과 인지 문맥)에 의존함을 알 수 있다. 그림에서 하나는 직관과 논리적으로 증명된 진술이 동일하지만 다른 경우는 그것이 모순 됨을 알 수 있다.

여기서 직관과 형식에 기반한 지식의 관계를 다음과 같이 나누어 볼 수 있다.

(a) 증명 없이 받아들여질 수 있는 진술로 직관적 근거에 기반 하는 것. 유클리드 기하에서      그런 진술들은 공리로써 제시된다.

(예) 두 점이 꼭 하나의 직선을 결정하는 것, 두 점사이의 최단거리는 직선

(b) 직관적으로 참인 진술이지만, 증명되어야 하는 것들

(예) 두 직선에 의해 만들어지는 마주보는 각의 크기는 같다.

삼각형에서 두 변의 길이의 합은 항상 나머지 한변 보다 크다.

(c) 자기 근거적이지 않으며 받아들이기 위해서는 증명이 되어야 하는 것들

(예) 삼각형에서 세 각의 합은 180° 이다.

직각 삼각형에서 피타고라스의 정리가 성립니다.

(d) 가장 흥미로운 것은 직관적 반응과 논리적 분성을 통해 얻은 인지 사이에 상충이 일어     나는 경우이다.(p20,31)

이 논문에서는 직관을 단정적 직관과 예측적 직관으로 분류하고 있다.

단정적 직관은 개인에게 직접적으로 수용 가능하고, 자기 근거적이고 총괄적으로 나타나는 표현, 이해, 방법 등을 의미한다. 이전에 언급했던 직관들이 여기에 해당한다. 반면 예측적 직관은 문제를 푸는데 있어, 직접적인 답은 아니지만 탐색 과정은 몇 개의 단계를 거치게 된다. 먼저 문제가 제시되면 의미 있게 이해하려고 노력하게 된다. 그 다음으로 이전에 획득한 정보와 관련된 개념들을 연결시켜서 주어진 것과 요구되는 것 사이에 다리를 놓게 된다. 그런 노력은 은연중에 일어날 수도 있고 의식적으로 일어날 수도 있다. 이러한 노력이 잘 구조화되면 답에 이르게 된다. 여기서 두 번째 단계는 세가지를 통해 일어나는데 하나는 학습자는 이전에 획득한 도식과 모델로 여러 가지 전략을 구사하기 위해 노력하며 부적절한 답은 제거한다. 이 과정은 어느 정도 의식적이라 할 수 있다. 학습자가 다른 활동으로 전환하거나 휴식을 취하는 경우도 있다. 갑자기 그는 답을 찾게 되기도 한다.  한순간 그의 마음에 들어온 총괄적 아이디어가 그를 답으로 이끄는 것이다. 이것이 예측적 직관이다. 이것은 고군분투하는 중에 갑자기 일어나게 되며 전체적 성향을 띤다.

◁ 도식

직관은 잘 변하지 않는다. 그것은 직관이 인지 행동의 잘 구조화된 체계와 관련되어 있기 때문이다. 따라서 그것은 고립된 정신 장치처럼 변하지 않는다. 직관은 그것이 속한 전체적 적응 기제와 함께 변하게 된다. 여기서 언급하는 적응 기제가 인지학에서 말하는 도식이다. 여기에는 보통 두가지 해석이 있다.

일반적인 해석에 따르면 도식은 대상이나 사건의 집약되고 단순화된 표현의 일종이다. 사람 얼굴에 대한 도식은 다음과 같다.(p51) 이런 도식을 생각하면 사람의 얼굴을 인지할 수 있다. 어떤 류의 문제를 푸는 일련의 활동은 풀이의 도식을 구성한다.

두 번째 해석은 적응적 행동과 관련한 피아제식의 관점이다. Piaget는 적응적 행동이 두가지 기본적 구성측면을 통해 달성된다고 했다. 동화와 순응이 그것이다. 어떤 대상을 확인하고 문제를 해결하기 위해서는 적절한 동화 도식에 따라 각각의 정보를 처리하고 정신적 기관에 의해 통합해야 한다. 한편 각각의 도식은 특수한 각각의 자료에 순응해야 한다.

첫 번째 관점으로는 도식이 제한적이고 특수한 반면 두 번째 관점에서는 일반적인 적응과 관련한 개념이 된다.

도식은 개인으로 하여금 정보를 진술하고, 과정을 생각하고, 통제하고 정신적으로 통합할 수 있도록 한다. 환경적 자극에 대해 의미 있고 효율적으로 반응할 수 있게 해준다.

이러한 관점으로 보았을 때 도식을 컴퓨터 프로그램에서 사용하는 프로그램과 동일하게 생각하는 사람이 있을 수도 있다. 그러나 여기서의 프로그램은 도식이, 어떤 목적으로 이끌어주는 일련의 단계를 조직한다는 것을 내포하고 있다.  예를 들어 도서관에서 책을 찾는 단계는 도식을 표현한다. 그것은 습득된 도식이다. 빨고, 이해하는 것은 타고난 도식으로 볼 수 있다.

이 글에서는 도식도 구체적 도식과 구조적 도식의 두가지로 나누고 있다.

구체적 도식 : 수학 연산의 단계를 예로 들 수 있다. 어떤 부류의 문제를 푸는 일련의 과정도 구체적 도식이다. 자전거를 탈 때의 행위도 절차적인 도식으로 구체적 도식으로 볼 수 있다.

구조적 도식 : 분류, 순서배열, 일대일 대응, 동치류, 형식적 증명, 조합론적 능력, 확률적 관계 등이 있다.  이것은 Piaget가 말하는 조작적 도식의 개념의 일반화라고 볼 수 있다. Piaget이론에서 조작적 도식은 일반성에 의해 특징지어지며 개인의 인지와 행동에 미치는 영향에 의해 특징지어진다. Piaget는 특히 비율과 조합론, 확률론의 도식 등을 언급하였다.

아동의 지적 발달의 단계는 그의 행동과 지적 능력에 대한 많은 내용을 암시하고 있는 수많은 도식에 의해 특징지어진다.

직관과 도식은 두 가지의 다른 인지 범주이다. 직관은 주로 전체성과 명백함에 대한 주관성에 의해 특징지어지는 인지인 반면 도식은 해석과 반응의 프로그램이다.

※ 결론 및 제언

이 연구에서 가능한 수의 직관적인 추정과 올바른 수학적 해답 간의 관계를 생각해 보고자 했다. 그 결과 순열의 개수에 있어서는 과소 추정된 반면 복원․비복원 배열, 조합에 있어서는 과대 추정되었다.

1. 정답과 추정에 있어서 수의 크기 순서가 일치했다.

2. 피험자들은 근원적으로 계산을 하지 않고 전체적이고 자발적인 추정으로 이끌어졌다.

피험자들이 조작을 하면서 자신들이 행하는 것을 기억하는 경우도 있었지만 나중에서야     그들의 추측에 그 과정을 끼워 맞추는 경우도 있었다. 모든 피험자들은 이항 연산, 곱셈     을 사용했고 각각의 공식에 따라 수행된 것은 없다.

조합론적 문제를 취급함에 있어서 피험자들이 곱셈을 사용한 것은 직관적 추측이 구조적 도식에 기반하고 있다는 사실을 보여준다. 조합론적 체계는 곱셈에 기반하고 있다. 숫자의 연산이 올바른 조합론적 계산을 포함하고 있다고 하더라도 피험자들은 조합론적 직관의 추측에 의해 직접적으로 시각화 가능한 자료로 고려했으며 어떤 구조적 도식에 따라 행하고 조작의 전 과정을 이항 곱셈으로 축소시켰다. 여기서는 압축의 현상이 직관의 메카니즘에 있어서 기본적인 역할을 담당한다는 것을 본다. 일반적으로 도식에서 전체적 특성을 갖는 직관으로의 일련적인 변화는 불시에 나타나면 인지는 압축 과정에 의해 나타난다.

여기서 특별히 조합론적인 내용을 소재로 삼은 것은 다음과 같은 이유에서일 것이다. 즉, 초등학교 시절의 연구 주제로써 조합론의 잠재력은 탁월하다. 그 영역은 아동에게 자기 주도적 학습을 할 수 있는 훌륭한 환경을 제공한다. 조합론적 문제가 풀이에 있어서 대안적 접근을 가능하게 하기 때문에 ꡒ어떤 공식을 사용해야 할지 말해주세요.(생각할 것을 요구하지 마세요.)ꡓ라는 신드롬을 단념시키게 한다는 것이다.

이 글 전반에서 피험자들이 곱셈의 연산을 사용하고 있다는 언급이 있었다. 이것은 조합에 있어서 기본적인 원리다. 즉, 기본적인 세기 원리는 ꡐ하나의 일을 수행하는데 m 개의 방법이 있고 또다른 일을 수행하는 데 n 개의 방법이 있을 경우 도가지 일을 수행하는 방법은 nm이다.ꡑ라는 것이다. 이 원리는 어떤 경우로도 확장될 수 있다. 대부분의 중학생들은 그런 형식화된 진술이 의미 있다거나 유용하다는 것을 모르지만 그 원리가 적절히 구체적 상황으로 바뀌게 되면 많은 학생들은 그것을 관련시켜 생각한다.

이 실험에서는 직접 계산을 하도록 하는 것이 아니라 추정을 하여 답을 하도록 하였다. 그것은 ꡐ직관ꡑ에 의해서 답을 했다는 가정이 되어 있는 것이다. 그리고 그 직관에 의한 답과 인터뷰, 그리고 그 답을 정답과 비교함으로써 그 직관이 도식에 의해서 비롯되었음을 언급하고 있다. 물론 합당한 부분이 있다. 그러나 다른 경우에 있어서도 피험자들이 보인 전략에 차이가 없는 경우가 있다는 것을 간과했다. 물론 통계적인 평균으로 보았을 때에는 저자의 논점이 관철되는 부분이 많지만 전 실험을 통해 피험자들이 거의 동일한 전략을 구사하고 있다는 것에 대한 적절한 설명을 하지 못한다면 이것은 서로 다른 상황에 대해 도식에 의한 직관이 작용한다고 성급히 판단할 수 없는 부분일 것이다.

또한 이런 부분에서 보았을 때 오류를 범하는 경우도 고려해 볼 수 있다. 즉 단순한 오류가 아니라 일정한 특징, 일정한 패턴을 갖고 있는 오류라면 이 글의 논점대로 이것은 도식에서 비롯되는 오류일 것이다. 그렇다면 『직관은 도식과 관계되어 있으므로 바람직하게 학생들의 직관에 영향을 주기 위해 도식을 확인하고 작용할 수 있도록 해야 한다』는 데에서 끝날 것이 아니라 오류를 유도하고 있는 도식에 대해 바람직한 방향을 모색해 보아야 할 것이다.