순수 수학 및 응용 수학에서 가장 유용한 적분 변환의 하나인 라플라스 변환에 대해 살펴본다. 라플라스 변환의 기본 개념은 주어진 어려운 문제를 쉬운 문제로 변환시켜 대수적인 방법으로 풀고 다시 역 변환에 의해 주어진 문제의 해를 구하는 것이다. 미분방정식에서의 이 변환은 공학에서의 초기치 미분방정식 및 적분방정식 문제를 해결하는 데 대단히 효율적이다.
     
 라플라스 변환의 정의

(정리, 라플라스 변환의 존재정리) 를 에서 정의된 함수로써 구분적 연속이고 적당한 음이 아닌 상수 가 존재하여 인 모든 에 대하여 이면, 모든 에 대하여 이상 적분

--------(1)

이 존재한다.

증명.

여기서 첫째 항은 의 연속성과 의 구분적 연속성에 의하여 적분이 존재하고 둘째 항은 다음과 같은 이유로 적분이 존재함을 알 수 있다.

따라서 모든 에 대하여 가 존재한다.

 

- 적분 (1)을 의 라플라스 변환이라 하고 로 표시한다. 그 결과는 에 관한 함수가 되기 때문에 로 쓴다. 또, 원래의 함수 를 의 역 변환이라 하고 로 표시한다. 즉, 다음관계가 성립한다.

- (참고)

   (i) 함수 가 주어진 구간에서 구분적 연속이란 주어진 구간을 유한개의 소구간으로 나누었을 때, 가 각각의 소구간 내에서 연속이고 각 소구간의 끝점에서 유한한 극한값을 가질 때를 말한다.

   (ii) 유일성의 증명은 정도를 벗어나므로 생략한다. 하지만 같은 라플라스 변환을 가지는 두 개의 다른 구분적 연속함수들은 오직 고립점에서만 다를 수 있다. 실제 응용에서는 무시되므로 라플라스 변환은 오직 하나의 역 변환을 갖는다. 즉 서로 다른 연속함수는 서로 다른 라플라스 변환을 갖는다.

   (iii)

   (iv) 위의 정리의 가정은 대단히 많은 함수들의 라플라스 변환의 존재성을 보여준다. 그러나 이 조건은 충분조건이지 필요조건은 아니다. 함수 은 구분적 연속은 아니지만 라플라스 변환이 존재함을 보일 수 있다.

예제1. 의 라플라스 변환을 구하여라.    
풀이.

여기서 인 모든 값에 대하여 감마함수 의 정의는 다음으로 주어진다.

 

- (참고) 을 부분적분하면

인데, 우변의 첫째항은 이고, 둘째항의 적분 식은 이다. 따라서 감마 함수의 기본성질

을 얻는다.

이므로 이다. 따라서 다음 공식을 얻는다.

예제2. 의 라플라스 변환을 구하여라.    
풀이.
 

 라플라스 변환의 기본 성질

- (정리, 라플라스 변환의 선형성) 라플라스 변환과 역 변환은 선형 변환이다. 즉, 와 을 각각 라플라스 변환이 가능한 함수이고 과 을 임의의 상수라고 하면 다음이 성립한다.

예제3. 의 라플라스 변환을 각각 구하여라.    
풀이.

,

이므로 다음 식을 얻는다.

 

예제4. 의 라플라스 변환을 각각 구하여라.    
풀이.
예제5. 의 라플라스 변환을 구하여라.    
풀이.

 

- (정리, 제 1 이동 정리, -축 상에서의 이동) 일 때 라 하면 임의의 실수 에 대하여 다음이 성립한다.

증명.

정의에 의하여 이므로 다음이 성립한다.

예제6. 의 라플라스 변환을 구하여라.    
풀이.
예제7. 의 역변환을 구하여라.    
풀이.
 

 도함수와 적분의 라플라스 변환과 미분방정식

- (정리, 도함수의 라플라스 변환) 함수 와 그 도함수 가 모든 에서 연속이고 리플라스 존재성 정리의 조건을 만족시킨다고 하자. 또 는 모든 에서 구분적 연속이라 하자. 그러면 에서 의 라플라스 변환이 존재하고 다음이 성립한다.

증명.

먼저 인 경우를 살펴보자. 가 연속인 경우에는 다음이 성립한다.

가 연속이 아닌 구분적 연속인 경우에도 주어진 구간을 분할하여 각 소구간에서 가 연속이 되도록 하면 마찬가지 방법으로 증명된다. 그리고 인 경우에는

이고, 같은 방법으로 다음 결과를 얻는다.

따라서 수학적 귀납법으로 위의 결론을 유도할 수 있다.

 

예제8. 다음의 초기치 미분방정식의 해를 라플라스 변환을 이용하여 구하여라.

   
풀이.

라 하자. 주어진 방정식의 양변에 라플라스 변환을 취하면 다음을 얻는다.

 

 

- (정리, 적분의 라플라스 변환) 가 구분연속이고 존재성 정리의 조건을 만족시키면 적당한 에 대하여 다음이 성립한다.

증명.

라 하면 는 연속이고 가 존재한다. 또 이고 이므로

이다. 따라서 다음이 성립한다.

예제9. 의 역변환을 구하여라.    
풀이.
 연습문제.

(1) 의 라플라스 변환을 구하여라.

(2) 역변환을 구하여라.

(3) 의 라플라스 변환을 구하여라.

 

(*) 아래에 주어진 초기치 미분방정식의 해를 라플라스 변환을 이용하여 구하여라.

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)