제 8주 강의(2.11, 2.12)

상수 계수를 갖는 2계 비 제차 선형미분방정식의 대표적인 모델링 두 가지를 살펴본다. 결과적으로 전혀 다른 물리계가 동일한 수학적 모델로 일치함을 알 수 있다.

모형 제작 : 강제 진동과 공명

6주 강의에서 자유 진동 미분방정식은 다음으로 주어졌다.

---------(1)

여기서 는 정지한 이후부터의 변위이고, 은 물체의 질량, 는 관성력, 는 감쇠력, 는 용수철의 힘에 대응한다.

강제 진동은 물체에 외력 을 작용시켰을 때 나타난다. 그에 대응하는 모형의 방정식은 으로 주어진다. 이때, 를 입력 또는 추진력이라 하며, 방정식의 해를 출력 또는 추진력에 대한 계의 응답이라 한다. 특히 흥미로운 것은 주기 입력인데, 여기서는 미분방정식

----------(2)

을 고찰하겠다. 이 방정식이 중요한 이유는 공명 현상 때문이다. 즉 어떤 입력은 계를 파괴시킬 수 있는 큰 진폭을 갖는 진동을 유도시킬 수 있다. 기계, 자동차, 배, 비행기, 교량 등은 진동하는 역학계이기 때문에 특히 공명 현상은 중요하다.

(2)의 일반해는 로서 는 (1)의 일반해이고 는 (2)의 특수해이다. 미정 계수법으로 를 구하자. 즉

----------(3)

라 두고 (2)에 대입하면 항등식

으로부터 다음이 성립한다.

또는

라 두면 다음을 얻는다.

---------(4)

(비감쇠 강제 진동) 감쇠가 없다면 이다. 먼저 이라 가정하면

---------(5)

이므로 다음을 얻는다.

----------(6)

(5) 와 (6)식을 통해서 다음을 알 수 있다.

(a) (6)의 주파수는 고유 주파수 와 입력 주파수 이다.

(b) 의 최대 진폭은 이고 일 때 진폭은 무한대로 접근한다.


	Simulation (Explorer 5.0 이하) Simulation (Explorer 5.5 이상)

(공명) 공명은 소리와 빛 확대, 금속약화, 금속의 구조적 파괴와 같은 영향들을 초래할 수 있다. 실 예로서 한 부대의 군인들이 1931년 영국 Manchester 근처의 Broughton 다리를 지날 때 그들의 행진이 그 다리의 자연 진동수에 거의 접근된 주기적 힘을 일으켜서 다리가 무너지는 공명 현상이 일어났다. 공명의 경우 방정식 (2)은 다음과 같다.

---------(7)

특수해는 이고 (7)에 대입하여 계산하면 를 얻는다. 즉

---------(8)

(8)로부터 시간이 흐름에 따라 의 진폭은 점점 커짐을 알 수 있다.

Simulation (Explorer 5.0 이하)

Simulation (Explorer 5.5 이상)

(감쇠 강제 진동) 감쇠 진동의 경우는 이고 방정식 (1)의 일반해는

()

여기서 . 가 커짐에 따라 (현실적으로 충분히 오랜 시간이 지난 후) 는 에 접근함을 알 수 있다. 즉 (2)의 일반해 , 여기서

여기서 , , ,

는 시간이 흐름에 따라 시간에 무관한 정상상태 해()로 되려는 경향이 있다. 그러므로 충분히 오랜 시간이 경과한 후 순수 코사인 함수 입력 에 대응하는 출력은 실제적으로 입력 주파수 의 조화 운동이 된다. 이것은 완전한 비감쇠 진동의 물리계는 없기 때문에 실제 일어나는 운동이다.