상수 계수를 갖는 비 제차 선형미분방정식의 특수해를 구하는 미정 계수법과 매개 변수 변환법에 대하여 알아본다.

     
 미정 계수법

상수 계수를 갖는 비 제차 미분방정식의 일반해를 구하려면, 그에 대응하는 제차 방정식의 일반해 를 구하고 주어진 비 제차 방정식의 특수해 를 구해야 한다. 미정 계수법은 상수 계수를 갖는 비 제차 미분방정식

--------(1)

의 특수해 를 구하는 방법으로 가 상수 함수, 다항 함수, 지수 함수, 사인 함수, 코사인 함수, 그리고 이런 함수의 유한개의 합 또는 곱 등일 때만 적용된다. 다음의 세 가지 법칙에 유의해야 한다.

(A) Basic Rule:상수 함수, 다항 함수, 지수 함수, 사인 함수, 코사인 함수 등으로 구성된 함수의 도함수도 또다시 상수 함수, 다항 함수, 지수 함수, 사인 함수, 코사인 함수 등으로 구성되는 성질이 있다. 예를 들어 가 (표) 와 같으면 도 (표)와 같이 놓고 주어진 미분방정식에 대입하여 을 구한다.

의 예             의 형태(단, 에 포함되어 있는 함수와 중복되지 않는다)

                     

                

               

            

      

                   

           

                 

              

             

             

 

예제1. 을 풀어라.   
풀이.

(step 1) 를 구하자 :

특성방정식 이 근 을 가지므로

이다.

(step 2) 를 구하자 :

가 이차 다항식이므로 라 놓고 를 결정하기 위하여 을 준 식에 대입하면 항등식

으로부터 연립 방정식 을 얻고 이를 풀면 즉 특수해 을 얻는다.

(step 3) 일반해 이다.
(B) Modification Rule : 미분방정식 (1)에서 주어진 가 미분방정식 (1)에 대응하는 제차 미분방정식의 해들 중 하나와 같은 꼴인 경우가 있다. 이때을 (표)에 있는 함수로 놓고 풀면가 결국 제차 미분방정식의 해에 흡수되므로 미분방정식 (1)의 일반해를 구한 것이 되지 않는다. 이런 경우는 (표)에 있는 형태에을 곱한 것을로 놓고 풀어야 한다.(5주 강의 [ 경우 2] 참조)

예제2. 을 풀어라.   
풀이.

(step 1) 을 구하자 :

특성방정식 이 근 을 가지므로 이다.

(step 2) 을 구하자 :

가 (step 1)에서 구한 해와 같으므로로 놓고

을 주어진 미분방정식에 대입하면 항등식 을 얻고 이로부터을 얻는다. 따라서즉 특수해 을 얻는다.

(step 3) 일반해 이다.
예제3. 을 풀어라.   
풀이.

(step 1) 을 구하자 :

특성방정식 이 근 (이중근)을 가지므로

이다.

(step 2) 을 구하자 :

가 (step 1)에서 구한 해와 같으므로로 놓고 풀어도 다시 (step 1)에서 구한 해에 흡수되므로 여기서는 로 놓고

을 주어진 미분방정식에 대입하면 항등식

을 얻고 이로부터즉 특수해 을 얻는다.

(step 3) 일반해 이다.

(step 4) 초기조건으로부터을 얻는다. 즉.
(C) Sum Rule : 예를 들어 만약가 (표)에 있는 함수들의 합으로 주어지면도 (표)에 있는 형태의 합으로 놓고 주어진 미분방정식에 대입하여을 구한다.

예제4. 을 풀어라.   
풀이.

(step 1) 를 구하자 :

특성방정식 이 근 을 가지므로 이다.

(step 2) 를 구하자 :

라 놓고 를 결정하기 위해서 를 미분하여 준 식에 대입하면 항등식

으로부터 연립 방정식 을 풀면

즉 을 얻는다.

(step 3) 일반해 이다.

(step 4) 초기조건으로부터을 얻는다. 즉
예제5.  을 풀어라.   
풀이.

(step 1) 를 구하자 :

특성방정식 이 근 을 가지므로 이다.

(step 2) 를 구하자 :

라 놓고 를 결정하기 위해서 를 미분하여 준 식에 대입하면 항등식

으로부터 연립 방정식 을 풀면

즉 을 얻는다.

(step 3) 일반해 이다.
 

 매개 변수 변환법

 

함수 은 1계 제차 선형미분방정식 의 해이다. 따라서 일반해는 이다. 상수 을 매개 변수 으로 대치하여 를 1계 비 제차 선형미분방정식 의 특수해라 가정하자. 즉 다음을 얻는다.

를 2계 제차 선형미분방정식 의 일반해라 하자. 상수 를 매개 변수 로 대치시킨 를 2계 비 제차 선형미분방정식 의 특수해라 가정하자. 를 곱의 미분법을 써서 미분하면 이다. 이 때, 과 가 방정식

--------(조건 1)

을 만족시킨다면 이 된다. 이를 미분하면

이다. 을 주어진 비 제차 방정식에 대입하여 정리하면 다음과 같다.

즉 과 는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

--------(조건 2)

(조건 1)과 (조건 2)는 과 을 결정하기 위한 연립 방정식

또는

을 얻고 Cramer 법칙에 의하여 다음과 같은 꼴로 표현된다.

또는

여기서 는 각각 다음과 같다.

 

위에서 살펴본 방법은 다음과 같은 형태의 계 비 제차 선형미분방정식

------------(2)

으로 일반화 시킬 수 있다. 비 제차 방정식 (2)에 대응하는 제차 미분방정식의 일반해 를 먼저 구하고 상수 을 매개 변수 로 대치하여

-----------(3)

가 비 제차 방정식 (2)의 특수해가 되도록 만드는 함수 을 찾는 방법을 매개 변수 변환법이라 한다. 특히 이 방법에서 비 제차 방정식 (2)의 의 계수가 임에 주의하자. (3)를 (2)에 대입하면 다음 연립 방정식을 얻는다.

 또는  

Cramer 법칙에 의하여 다음과 같은 꼴로 표현된다.

 또는

여기서 이고 는 의 째 열에 다음 벡터를 넣어 만든 행렬식을 뜻한다.

 

예제6.  을 풀어라.   
풀이.

특성방정식 이 근 을 가지므로 다음을 얻는다.
 연습문제. 다음에 주어진 미분방정식을 풀어라.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)